%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1975年　入学試験　文系数学　問題3}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
$\alpha,\beta,\gamma$ がこの順に等差数列であり，$\sin\alpha,\sin\beta,\sin\gamma$ がこの順に等比数列であるのはどのようなときか．\\
\\
{\large 解答}\\
\\
$\alpha,\beta,\gamma$が等差数列であることから公差を$d$とおくと\\
$\beta=\alpha+d,\gamma=\alpha+2d$\\
また、
$\sin\alpha,\sin\beta,\sin\gamma$が等比数列であることから、公比を$r$とおくと\\
$\sin\beta=r\sin\alpha,\sin\gamma=r^2\sin\alpha$\\
となる。\\
これを合わせると\\
$\sin(\alpha+d)=r\sin\alpha,\sin(\alpha+2d)=r^2\sin\alpha$\\
となる。\\
加法定理より\\
$\sin(\alpha+d)=\sin\alpha\cos\;d+\cos\alpha\sin\;d=r\sin\alpha$\\
$\sin(\alpha+2d)=\sin\alpha\cos\;2d+\cos\alpha\sin\;2d=r^2\sin\alpha$\\
よって\\
$\cos\;d+\dfrac{\cos\alpha\sin\;d}{\sin\alpha}=r$\\
$\cos\;2d+\dfrac{\cos\alpha\sin\;2d}{\sin\alpha}=r^2$\\
$1-2sin^2d+\dfrac{2\cos\alpha\sin\;d\cos\;d}{\sin\alpha}=r^2$\\
$\sin\alpha=a$\\
$\sin\;d=b$\\
$\cos\alpha=c$\\
$\cos\;d=f$\\
と書き換えると\\
\begin{eqnarray}
f+\dfrac{cb}{a}=r\\
1-2b^2+\dfrac{2cbf}{a}=r^2
\end{eqnarray}
(1)を(2)に代入して\\
$b^2+f^2=1$、$a^2+c^2=1$が成立するので\\
\begin{eqnarray*}
1-2b^2+\dfrac{2cbf}{a}&=&\left(f+\dfrac{cb}{a}\right)^2\\
1-2b^2+\dfrac{2cbf}{a}&=&f^2+2f\dfrac{cb}{a}+\dfrac{c^2b^2}{a^2}\\
a^2-2a^2b^2+2abcf&=&a^2f^2+2abcf+c^2b^2\\
a^2-2a^2b^2-a^2f^2-c^2b^2&=&0\\
a^2-2a^2(1-f^2)-a^2f^2-c^2b^2&=&0\\
a^2-2a^2+2a^2f^2-a^2f^2-c^2b^2&=&0\\
a^2-2a^2+a^2f^2-c^2+c^2f^2)&=&0\\
-a^2-c^2+f^2(a^2+c^2)&=&0\\
-b^2(a^2+c^2)&=&0\\
-b^2&=&0\\
\end{eqnarray*}
したがって\\
$b=0$\\
$\sin\;d=0$\\
よって、
$d=n\pi$\\
$\beta=\alpha+d=\alpha+n\pi$
$\gamma=\alpha+2d=\alpha+2n\pi$
よって\\
$\sin\beta=\sin(\alpha+n\pi)=\sin\alpha\cos\;n\pi+\cos\alpha\sin\;n\pi=(-1)^n\sin\alpha$\\
$\sin\gamma=\sin(\alpha+2n\pi)=\sin\alpha\cos\;2n\pi+\cos\alpha\sin\;2n\pi=\sin\alpha$\\
よって、$r=(-1)^n$\\
$n$が奇数の時は、$r=-1$\\
$n$が偶数の時は、$r=1$\\
つまり、\\
$\alpha,\beta,\gamma$は、初項$\alpha$,公差$n\pi$の等差数列\\
$\sin\alpha,\sin\beta,\sin\gamma$は初項$\sin\alpha$,公比$\pm 1$の等比数列\\
となる。
\end{document}
