%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1975年　入学試験　文系数学　問題6}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
$a$ が実数で $a<1$ のとき，数列 $x_0$，$x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_n$，$\cdots$ を $x_0=a$，$x_n=\dfrac{1}{2-x_{n-1}}$（$n=1$，2，3，$\cdots$）によって定義する．\\
このとき
\begin{enumerate}
 \item　$x_n$ を $n$ と $a$ で表わせ．
 \item　$\dlim_{n\to\infty}n^2\Bigl(x_n-1+\dfrac{1}{n}\Bigr)$ を求めよ．
\end{enumerate}
{\large 解答}\\
\\
1.\\
計算してみる。\\
$x_1=\dfrac{1}{2-a}$\\
$x_2=\dfrac{1}{2-\dfrac{1}{2-a}}=\dfrac{2-a}{3-2a}$\\
$x_3=\dfrac{1}{2-\dfrac{2-a}{3-2a}}=\dfrac{3-2a}{4-3a}$\\
$x_4=\dfrac{1}{2-\dfrac{3-2a}{4-3a}}=\dfrac{4-3a}{2(4-3a)-(3-2a)}=\dfrac{4-3a}{5-4a}$\\
\\
以上より$x_n=\dfrac{n-(n-1)a}{n+1-na}$と考えられる。\\
$x_n$をこのように定義してみると、\\
\begin{eqnarray*}
x_n(2-x_{n-1})&=&\dfrac{n-(n-1)a}{n+1-na}(2-\dfrac{n-1-(n-2)a}{n-(n-1)a})\\
&=&\dfrac{n-(n-1)a}{n+1-na}\dfrac{2(n-(n-1)a)-(n-1-(n-2)a)}{n-(n-1)a}\\
&=&\dfrac{2(n-(n-1)a)-(n-1-(n-2)a)}{n+1-na}\\
&=&\dfrac{2n-2(n-1)a-n+1+(n-2)a}{n+1-na}\\
&=&\dfrac{2n-2na+2a-n+1+an-2a}{n+1-na}\\
&=&\dfrac{2n-n+1-na}{n+1-na}\\
&=&\dfrac{n+1-na}{n+1-na}\\
&=&1
\end{eqnarray*}
から\\
$x_n(2-x_{n-1})=1$\\
したがって、
$$x_n=\dfrac{1}{2-x_{n-1}}$$
となり漸化式が成立する。\\
一つの漸化式によって定められる数列は一つなので\\
$x_n=\dfrac{n-(n-1)a}{n+1-na}$である。\\
\\
2.\\
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{\dlim_{n\to\infty}n^2\Bigl(x_n-1+\dfrac{1}{n}\Bigr)}\\
&=&\dlim_{n\to\infty}n^2\Bigl(\dfrac{n-(n-1)a}{n+1-na}-1+\dfrac{1}{n}\Bigr)\\
&=&\dlim_{n\to\infty} \dfrac{n}{-an+n+1}\\
&=&\dlim_{n\to\infty} \dfrac{n}{-an+n+1}\\
\end{eqnarray*}
$f(n)=\dfrac{-an+n+1}{n}$をとる。
\begin{eqnarray*}
\dlim_{n\to\infty} f(n)&=&\dlim_{n\to\infty} \dfrac{-an+n+1}{n}\\
&=&\dlim_{n\to\infty} -a+1+\dfrac{1}{n}
\end{eqnarray*}
$\dlim_{n\to\infty} -a+1 = 1-a$\\
$\dlim_{n\to\infty} \dfrac{1}{n} = 0$\\
となり、それぞれ有限な値に収束するので\\
$\dlim_{n\to\infty} -a+1+\dfrac{1}{n}=\dlim_{n\to\infty} -a+1+\dlim_{n\to\infty} \dfrac{1}{n}=1-a$\\
$a<1$なので\\
$1-a>0$であり\\
$\dlim_{n\to\infty} \dfrac{1}{f(x)}$\\
において分母は０にならないので、これも収束し\\
$\dlim_{n\to\infty} \dfrac{1}{f(x)}=\dfrac{1}{1-a}$\\
となる。\\
以上より求める極限は
$$\dlim_{n\to\infty} \dfrac{n}{-an+n+1}=\dlim_{n\to\infty} \dfrac{1}{f(x)}=\dfrac{1}{1-a}$$
\end{document}

