%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\begin{document}
{\large 京都大学　1975年　入学試験　理系数学　問題1}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
あるスポーツ大会で，参加した $n$ 個のチームはつぎの方法（リーグ戦形式）
で順位を争う．すなわち，どのチームも他の各チームとそれぞれ1回ずつ試合を
行い，勝ち数の大小によって順位をきめるものとする．今年の大会では，引き分
けが1回も起こらず，また同順位のチームがなかったという。
このとき，どのチームもそれより下位のチームには必ず勝っていることを証明せよ．\\
\\
{\large 解答}\\
\\
$n$チームでリーグ戦を行うので、各チームは$n-1$回のゲームを行う。\\
このとき引き分けが無く、同順位のチームが無いということは、各チームの勝ち数が異なることになる。\\
チーム数は$n$あって、結果が$0$勝から$n-1$勝までの$n$種類しか存在しないので、\\
最下位は全敗、首位は全勝、その間すべての勝ち数$l(1 \le l \le n)$のチームがあることになる。\\
1位から、$n-1$勝、$n-2$勝となるので、$k$位のチームは$n-k$勝となり、$k-1$敗していることになる。\\
首位は全勝なので、残りの全チームに勝っている。\\
第$k$位以上のチームが、すべて第$k+1$位以下のチームに全勝していると仮定すると$k+1$位のチームは首位から$k$位までのチームにすべて負けていることになる。\\
しかし、第$k+1$位のチームの負け数は$k$敗なので、第$k+1$位のチームは第$k+2$位以下のチームには全勝していることになる。\\
・第$1$位のチームは第$2$位以下のチームに全勝している。\\
・第$k$位以上のチームが第$k+1$位以下のチームに全勝していると仮定すると、第$k+1$位のチームは$k+2$位のチームに全勝してる。\\
数学的帰納法によって、すべてのチームはそれより下位のチームには必ず勝っている。
\end{document}
