%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1975年　入学試験　理系数学　問題3}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
$\alpha,\beta,\gamma$ がこの順に等差数列であり，$\sin\alpha,\sin\beta,\sin\gamma$ がこの順に等比数列であるのはどのようなときか．\\
\\
{\large 解答}\\
\\
$\alpha,\beta,\gamma$が等差数列であることから公差を$d$とおくと\\
$\alpha=\beta-d,\gamma=\beta+d$\\
また、
$\sin\alpha,\sin\beta,\sin\gamma$が等比数列であることから\\
$\sin^2\beta=\sin\alpha\sin\gamma$\\
となる。\\
これを合わせると\\
$\sin^2\beta = \sin(\beta-d)\sin(\beta+d)$\\
となる。\\
加法定理より
\begin{eqnarray*}
\sin(\beta-d)\sin(\beta+d) &=& (\sin\beta\cos d - \cos\beta\sin d)(\sin\beta\cos d + \cos\beta\sin d)\\
&=& \sin^2\beta\cos^2d - \cos^2\beta\sin^2d
\end{eqnarray*}
なので\\
$\sin^2\beta = \sin^2\beta\cos^2d - \cos^2\beta\sin^2d$\\
$\sin^2x + \cos^2x=1$に注意して、移項して整理すると
\begin{eqnarray*}
\sin^2\beta(1-\cos^2d)+\cos^2\beta\sin^2d &=& 0\\
\sin^2\beta\sin^2d + cos^2\beta\sin^2d &=& 0\\
(\sin^2\beta + \cos^2\beta)\sin^2d &=& 0\\
\sin^2d &=& 0
\end{eqnarray*}
となり\\
$\sin d = 0$\\
よって、$n$を整数として\\
$d=n\pi$\\
$\beta=\alpha+d=\alpha+n\pi$\\
$\gamma=\alpha+2d=\alpha+2n\pi$\\
なので\\
$\sin\beta=\sin(\alpha+n\pi)=\sin\alpha\cos\;n\pi+\cos\alpha\sin\;n\pi=(-1)^n\sin\alpha$\\
$\sin\gamma=\sin(\alpha+2n\pi)=\sin\alpha\cos\;2n\pi+\cos\alpha\sin\;2n\pi=\sin\alpha$\\
よって、公比$r=(-1)^n$\\
$n$が奇数の時は、$r=-1$\\
$n$が偶数の時は、$r=1$\\
以上より$\alpha,\beta,\gamma$は、初項$\alpha$,公差$n\pi$の等差数列\\
$\sin\alpha,\sin\beta,\sin\gamma$は初項$\sin\alpha$,公比$\pm 1$の等比数列となる。\\
 \\
謝辞：この解答は今田さんに教えていただきました。ありがとうございました。
\end{document}
