%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1975年　入学試験　理系数学　問題4}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
平面上で，3つの定点A，B，Cと定円の周上を動く点Pがある．ベクトル $\Vec{\text{PA}}+\Vec{\text{PB}}+\Vec{\text{PC}}$ の大きさが最大となるのは点Pがどんな位置にあるときか．\\
\\
{\large 解答}\\
\\
$\overrightarrow{\text{PA}}+\overrightarrow{\text{PB}}+\overrightarrow{\text{PC}}$の大きさを$l$とする。\\
$\dfrac{\overrightarrow{\text{PA}}+\overrightarrow{\text{PB}}+\overrightarrow{\text{PC}}}{3}$を
Pからのベクトルとしたとき、この終点をGとすると、点GはPの位置にかかわらず一定。\\
\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{\text{PG}}&=&\dfrac{\overrightarrow{\text{PA}}+\overrightarrow{\text{PB}}+\overrightarrow{\text{PC}}}{3}\\
&=&\dfrac{\overrightarrow{\text{GA}}-\overrightarrow{\text{GP}}+\overrightarrow{\text{GB}}-\overrightarrow{\text{GP}}+\overrightarrow{\text{GC}}-\overrightarrow{\text{GP}}}{3}\\
&=&\dfrac{\overrightarrow{\text{GA}}+\overrightarrow{\text{GB}}+\overrightarrow{\text{GC}}}{3}-\overrightarrow{\text{GP}}\\
&=&\dfrac{\overrightarrow{\text{GA}}+\overrightarrow{\text{GB}}+\overrightarrow{\text{GC}}}{3}+\overrightarrow{\text{PG}}
\end{eqnarray*}
つまり、\\
$\dfrac{\overrightarrow{\text{GA}}+\overrightarrow{\text{GB}}+\overrightarrow{\text{GC}}}{3}=0$\\
より\\
$\dfrac{-\overrightarrow{\text{AG}}+\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{AG}}+\overrightarrow{\text{AC}}-\overrightarrow{\text{AG}}}{3}=0$\\
$\overrightarrow{\text{AG}}=\dfrac{\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}}{3}$\\
よって、Gは、Pに関係なく一定\\
したがって、\\
$\overrightarrow{\text{PA}}+\overrightarrow{\text{PB}}+\overrightarrow{\text{PC}}=3\overrightarrow{\text{PG}}$なので\\
$l=3|\overrightarrow{\text{PG}}|$\\
より\\
$l$が最大になるのは、$\overrightarrow{\text{GP}}$が最大になるとき\\
点Pの中心を点Oとしたとき
G$ \neq $Oの時は直線$GO$とその円周の交点で、点Gと反対側にある点。\\
点Gが点Oと一致する場合は、$l$の大きさは常に一定なので、最大となる点は存在しない。\\
\\
点GはABCの重心なので、\\
問題のベクトルが最大となる点Pは、\\
三点ABCの重心をG、定円の中心をOとしたとき、直線OGと円周の交点で、点Oを挟んで点Gと反対側の点\\
GとOが一致するときは、任意の点Pにおいてベクトルの長さは一定、つまり常に最大と言ってもいいが、常に最小でもある。\\
\end{document}

