%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
\documentclass[a4j,10pt,fleqn]{jsarticle}
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1975年　入学試験　理系数学　問題5}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　$n$ と $a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_n$ は自然数であって，不等式
\[
2\leqq a_1\leqq a_2\leqq\cdots\leqq a_n\text{， } \dsum_{i=1}^n
\Bigl(1-\dfrac{1}{a_i}\Bigr)-2>0											
\]
をみたすものとする．$S=\dsum_{i=1}^n
\Bigl(1-\dfrac{1}{a_i}\Bigr)-2$ とおく．
\begin{enumerate}
 \item　とくに $n=3$ として，$S$ を最小にする $(a_1,a_2,a_3)$ を求めよ．
 \item　$n$ も自由に動かした可能なすべての組 $(n,a_1,a_2,\cdots,a_n)$ の
      うちで，$S$ を最小にするものを求めよ．
\end{enumerate}
{\large 解答}\\
\\
1.\\
$n=3$より
$2 \leqq a_1 \leqq a_2 \leqq a_3$\\
$a_1=b$\\
$a_2=b+c$\\
$a_3=b+d$\\
としたとき\\
\begin{eqnarray*}
S&=&1-\dfrac{1}{b}+1-\dfrac{1}{b+c}+1-\dfrac{1}{b+d}-2\\
&=&1-\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{b+c}-\dfrac{1}{b+d}\\
\end{eqnarray*}
ここで、\\
$f(x)=1-\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+c}-\dfrac{1}{x+d}$とおいて\\
$x$について微分すると\\
$f'(x)=\dfrac{1}{(x+c)^2}+\dfrac{1}{(x+d)^2}+\dfrac{1}{x^2}$\\
いま、$b,c,d$はすべて正なので\\
$f'(x)>0$\\
よって、$f(x)$は単調減少。
したがって、$f(x)$は任意の$c,d$について$b=2$において、最小となる。
よって、$f(x)$の最小値は、常に$f(2)=1-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2+c}-\dfrac{1}{2+d}$\\
次に\\
$g(x)=1-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2+x}-\dfrac{1}{2+d}$を考えると\\
これを微分すると\\
$g'(x)=\dfrac{1}{(x+2)^2}$\\
これは上記と同様常に正なので$g(x)$は単調増加\\
したがって、任意の$d$について、$g(x)$は$x=0$において最小となる。\\
よって$g(x)$の最小値は、$g(0)=1-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2+d}=-\dfrac{1}{2+d}$\\
しかし、この値では$S>0$が成り立たないので、$x \geqq 1$\\
よって、$g(1)=1-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2+d}=\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{2+d}$\\
\\
次に$h(x)=\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{2+x}$\\
とおくと\\
$h'(x)=\dfrac{1}{(x+2)^2}$\\
となり、$g(x)$と同様、$h(5)=\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{7}=\dfrac{1}{42}$\\
のとき最小となる。\\
つまり、$(a_1,a_2,a_3)=(2,3,7)$\\
2.\\
$k \geqq 5$の時を考える。\\
$S_k$を$n=k$の時の$S$とする。\\
また、$n=k$の時の$S_k$の最小値を$M_k$とする。\\
$n=k$のとき、$a_1=a_2=\cdots =a_{k-1}=a_{k}=2$の時最小になると仮定すると\\
$a_1=d_1$\\
$a_2=d_1+d_2$\\
\vdots\\
$a_n=d_1+d_2+\cdots+d_n$\\
$d_1\geqq 2,d_1\ldots d_n \geqq 0$\\
とすると
$n=k+1$のときの$S$は
\begin{eqnarray*}
S&=&1-\dfrac{1}{d_1}+1-\dfrac{1}{d_1+d_2}+1-\dfrac{1}{d_1+d_2+d_3}\\
 & &\cdots\\
 & &+1-\dfrac{1}{d_1+d_2+\cdots+d_{k+1}}-2
\end{eqnarray*}
となり、\\
$f(x)=1-\dfrac{1}{d_1}+1-\dfrac{1}{d_1+d_2}+1-\dfrac{1}{d_1+d_2+d_3}+\cdots+1-\dfrac{1}{d_1+d_2+\cdots+d_k}+1-\dfrac{1}{d_1+d_2+\cdots+x}-2$\\
とすると、
$f'(x)=\dfrac{1}{(d_1+d_2+\cdots+x)^2}$\\
となり、$f(x)$は単調増加。\\
したがって、$f(x)$は$f(0)$において最小となる。\\
そのときの最小値は\\
$M_{k+1}=f(x)=1-\dfrac{1}{d_1}+1-\dfrac{1}{d_1+d_2}+1-\dfrac{1}{d_1+d_2+d_3}+\cdots+1-\dfrac{1}{d_1+d_2+\cdots+d_k}+1-\dfrac{1}{d_1+d_2+\cdots+d_k}-2$\\
$S_{k}=1-\dfrac{1}{d_1}+1-\dfrac{1}{d_1+d_2}+1-\dfrac{1}{d_1+d_2+d_3}+\cdots+1-\dfrac{1}{d_1+d_2+\cdots+d_k}-2$\\
なので\\
$M_{k+1}=S_{k}+1-\dfrac{1}{d_1+d_2+\cdots+d_k}=S_{k}+1-\dfrac{1}{a_k}$\\
つまり\\
$S_{k+1}$は、$S_{k}$の値にかかわらず$a_k=a_{k+1}$のとき最小となる。\\
$S_{k}$が$a_1=a_2=\cdots =a_k=2$のとき最小となるので、\\
$S_{k+1}$は、$a_1=a_2=\cdots =a_k=a_{k+1}=2$のとき最小となる、\\
$n=5$の時
\begin{eqnarray*}
S_5&=&1-\dfrac{1}{d_1}+1-\dfrac{1}{d_1+d_2}+1-\dfrac{1}{d_1+d_2+d_3}+1-\dfrac{1}{d_1+d_2+d_3+d_4}+1-\dfrac{1}{d_1+d_2+d_3+d_4+d_5}-2\\
&=&3-\dfrac{1}{d_1}-\dfrac{1}{d_1+d_2}-\dfrac{1}{d_1+d_2+d_3}-\dfrac{1}{d_1+d_2+d_3+d_4}-\dfrac{1}{d_1+d_2+d_3+d_4+d_5}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\dfrac{1}{d_1} &\leqq& \dfrac{1}{2}\\
\dfrac{1}{d_1+d_2} &\leqq& \dfrac{1}{2}\\
\dfrac{1}{d_1+d_2+d_3} &\leqq& \dfrac{1}{2}\\
\dfrac{1}{d_1+d_2+d_3+d_4} &\leqq& \dfrac{1}{2}\\
\dfrac{1}{d_1+d_2+d_3+d_4+d_5} &\leqq& \dfrac{1}{2}
\end{eqnarray*}
より\\
$\dfrac{1}{d_1}+\dfrac{1}{d_1+d_2}+\dfrac{1}{d_1+d_2+d_3}+\dfrac{1}{d_1+d_2+d_3+d_4}+\dfrac{1}{d_1+d_2+d_3+d_4+d_5} \leqq \dfrac{5}{2}$\\
よって、$S_5>0$\\
したがって、上記$n=k$の時と同様にして、$d_5=0$の時最小となり、かつ$S_5>0$\\
1.と同様に考えて、\\
$(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)=(2,2,2,2,2)$\\
のとき最小となって、最小値は
$S_5=\dfrac{1}{2}$\\
よって$n=5$のときは示されたので数学的帰納法より$n\geqq 5$のすべての$n$において成立する。\\
したがって、$5$以上の$k$については、
$$M_k=\dfrac{n}{2}-2$$
がなりたつ。\\

$S_1=1-\dfrac{1}{a_1}-2=\dfrac{1}{a_1}-1<0$\\
$S_2=1-\dfrac{1}{a_1}+1-\dfrac{1}{a_2}-2=-\dfrac{1}{a_1}-\dfrac{1}{a_2}<0$\\
より、$n>2$でなければ、成立しないので、$S_3,S_4,S_5$を考えると\\
$M_3$は1.のとき\\
$(a_1,a_2,a_3)=(2,3,7) \to S_3=\dfrac{1}{42} $\\
$M_4$は1.と同様に考えて\\
$(a_1,a_2,a_3,a_4)=(2,2,2,3) \to S_4=\dfrac{1}{6}$\\
$M_5$以上については、上記より$M_n=\dfrac{n}{2}-2$なので\\
$(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)=(2,2,2,2,2)=\dfrac{1}{2}$\\
$\dfrac{n}{2}-2$は単調増加なので、最小となるのは、$n=5$のとき\\
よって、すべての組合せにおいて、最小となるのは$M_3=\dfrac{1}{42}$\\
つまり、最小となる組合せと$S$の最小値は\\
$$(a_1,a_2,a_3)=(2,3,7) ,S=\dfrac{1}{42} $$
\end{document}

