%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1975年　入学試験　理系数学　問題6}\\
\\
{\large 問題}\\
$\triangle$ABCで $\angle\text{A}=90^{\circ}$，
$\overline{\text{AB}}=\overline{\text{AC}}=2$ とする．頂点Aから斜辺BCに
垂線AHをひく（Hはその交点）．半直線AH上に中心Oをもつ半径1の円を考える．
\begin{enumerate}
 \item　$\triangle$ABCの3つの辺が円Oの周とそれぞれ2点で交わるのは，
      $\overline{\text{AO}}=x$ がどのような範囲にあるときか．
 \item　$\triangle$ABCと円Oの内部の共通部分の面積を $S$ とする．$x$ が
      (1)の範囲にあるとき，$S$ をつぎの関数 $F(t)$ を用いて表わせ．
\[
 F(t)=2\int_t^1\sqrt{1-u^2}\,du\quad(0\leqq t\leqq 1)
\]
 \item　$x$ は(1)の範囲にあるとする．$\dfrac{dS}{dx}$ を求め，$S$ を最大
      にする $x$ の値を求めよ．
\end{enumerate}
{\large 解答}\\
\includegraphics[width=10cm,clip]{1975s_6.eps}
\begin{enumerate}
\item 
AHはBCへの垂線で、円の中心OがAH上にあるので、HとOの距離が半径より大きい時円はBCと交点を持たない。\\
また、HとOの距離が半径に等しい時は、Hで接するので、２点で交わらない。\\
したがって、２点で交わるためには、HとOの距離が円の半径未満であることが必要。\\
また、線分BCは$2\sqrt{2}$の長さがあり中点の垂線上を中心が移動するのでBCと円の交点がBCの外側にでることはない、よって十分\\
$\triangle$ABCはAを直角とする直角二等辺三角形なので、AHはBCの中点で、AHの距離は$\sqrt{2}$\\
以上よりAOを$x$で表すので、この条件は、$|\sqrt{2}-x|<1$となり、\\
$$-1+\sqrt{2}<x<1+\sqrt{2}$$
円とABについても同様に、OからABに垂線をおろし、その交点をJとすると、OからJの距離が半径未満であればよい。\\
OJの距離は$\dfrac{x}{\sqrt{2}}$で表せるのでこの条件は$\dfrac{x}{\sqrt{2}}<1$つまり$x<\sqrt{2}$となる。\\
しかし、$x<1$の場合ABとの交点がABの範囲から出てしまうので、$x \ge 1$が必要\\
円とACとの関係についてはAHに対して対称なので、条件は同じ。\\
$$1\le x <\sqrt{2}$$
\\
以上の条件をあわせて$\sqrt{2}-1<1$,$1+\sqrt{2}>\sqrt{2}$なので、
$$1\le x <\sqrt{2}$$
\item
$F(t)$は原点を中心とした半径１の円の$t<x<1$の範囲の面積を表す\\
$S$は半径１の円からAB,BC,AC の３辺の外側の面積を引いたものなので、\\
BCによって切られた外側の面積はOHの距離を$t$としたときの$F(t)$の値となり、
ABによって切られた外側の面積はOJの距離を$t$ とした時の$F(t)$の値となる。
OHのは距離$\sqrt{2}-x$,OJの距離は$\dfrac{x}{\sqrt{2}}$、半径１の円の面積は$\pi$なので
$$S=\pi -(F(\sqrt{2}-x)+2F(\dfrac{x}{\sqrt{2}}))$$
\item
$F(t)$を置き換えて、微分すると
\begin{eqnarray*}
\dfrac{dS}{dx}&=&\dfrac{d}{dx}(
\pi -(
        2\int_{\sqrt{2}-x}^1\sqrt{1-u^2}\,du+
        4\int_{\dfrac{x}{\sqrt{2}}}^1\sqrt{1-u^2}\,du
))\\
&=&
\dfrac{d}{dx}
   \pi
-2\dfrac{d}{dx}
  \int_{\sqrt{2}-x}^1\sqrt{1-u^2}\,du
-4\dfrac{d}{dx}
        \int_{\dfrac{x}{\sqrt{2}}}^1\sqrt{1-u^2}\,du\\
&=&
-2\sqrt{1-(\sqrt{2}-x)^2}
+2\sqrt{2}\sqrt{1-(\dfrac{x}{\sqrt{2}})^2}\\
\end{eqnarray*}
となる。
$x$ が１から$\sqrt{2}$まで変化すると、
$\sqrt{2}-x$は減少し$1-(\sqrt{2}-x)^2$ は増加する。したがって$-2\sqrt{1-(\sqrt{2}-x)^2}$は減少する。\\
同様に$(\dfrac{x}{\sqrt{2}})^2$は増加し$2\sqrt{2}\sqrt{1-(\dfrac{x}{\sqrt{2}})^2}$は減少する。\\
したがって、$\dfrac{dS}{dx}$ は短調減少となる。\\
$x=1$のとき$\dfrac{dS}{dx}=-2\sqrt{2\sqrt{2}-2}+2 < 0$なので、$1\le x <\sqrt{2}$の区間で$\dfrac{dS}{dx}$は負となりSは短調減少。\\
したがって$x=1$の時Sの最大となる。\\
よって$S$を最大とする$x$は
$$x=1$$
\end{enumerate}
\end{document}
