%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
\documentclass[a4j,10pt,fleqn]{jsarticle}
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1976年　入学試験　文系数学　問題3}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　多項式 $f(x)$ で，等式
\[
f(x)f'(x)+\dint_1^xf(t)\,dt=\dfrac{4}{9}x-\dfrac{4}{9}
 \]
をみたしているものをすべて求めよ．ただし，$f'(x)$ は $f(x)$ の導関数をあらわす．
\ \\
{\large 解答}\\
\\
$f(x)$を$n$次の多項式として、\\
$f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n\,(a_0\neq 0)$とする。\\
$f'(x)=na_0x^{n-1}+(n-1)a_1x^{n-2}+\cdots+a_{n-1}$\\
\begin{eqnarray*}
\dint_1^xf(t)\,dt&=&\left[\dfrac{a_0}{n+1}x^{n+1}+\dfrac{a_1}{n}x^{n}+\cdots+a_nx\right]_1^x\\
&=&\dfrac{a_0}{n+1}x^{n+1}+\dfrac{a_1}{n1}x^{n}+\cdots+a_nx-(\dfrac{a_0}{n+1}+\dfrac{a_1}{n}+\cdots+a_n)\\
&=&\dfrac{a_0}{n+1}(x^{n+1}-1)+\dfrac{a_1}{n}(x^{n}-1)+\cdots+a_n(x-1)\\
\end{eqnarray*}
$\dint_1^xf(t)\,dt$は$n+1$次\\
$f(x)f'(x)$は$2n-1$次\\
その和が1次となるためには
$n \geqq 1$の場合\\
$2n-1$と$n+1$が一致し、その係数が相殺する必要がある。\\
よって$n=2$\\
少なくとも$f(x)=ax^2+bx+c$の形でなければならない。\\
すると\\
$f'(x)=2ax+b$\\
$\dint_1^xf(t)\,dt=\dfrac{a}{3}(x^{3}-1)+\dfrac{b}{2}(x^{2}-1)+c(x-1)$\\
となるので\\
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{f(x)f'(x)+\dint_1^xf(t)\,dt}\\
&=&(ax^2+bx+c)(2ax+b)+\dfrac{a}{3}(x^{3}-1)+\dfrac{b}{2}(x^{2}-1)+c(x-1)\\
&=&
(2a^2+\dfrac{a}{3})x^3
+(3ab+\dfrac{b}{2})x^2
+(2ac+c+b^2)x
+bc-c-\frac{b}{2}-\frac{a}{3}\\
&=&\dfrac{4}{9}x-\dfrac{4}{9}
\end{eqnarray*}
よって\\
\begin{eqnarray*}
2a^2+\dfrac{a}{3}&=&0\\
3ab+\dfrac{b}{2}&=&0\\
2ac+c+b^2&=&\dfrac{4}{9}\\
bc-c-\frac{b}{2}-\frac{a}{3}&=&-\dfrac{4}{9}
\end{eqnarray*}
$2a^2+\dfrac{a}{3}=0$より\\
$a(2a+\dfrac{1}{3})=0$\\
$a=0,-\dfrac{1}{6}$\\
\ \\
$3ab+\dfrac{b}{2}=0$より\\
$b(3a+\dfrac{1}{2})=0$\\
$b=0$または$a=-\dfrac{1}{6}$
\ \\
$a=0$のとき\\
$3ab+\dfrac{b}{2}=0$より\\
$b=0$\\
$2ac+c+b^2=\dfrac{4}{9}$より\\
$c=\dfrac{4}{9}$\\
$bc-c-\frac{b}{2}-\frac{a}{3}=-\dfrac{4}{9}$に代入すると\\
$-c=-\dfrac{4}{9}$となり成立する。
よって、$(a,b,c)=(0,0,\dfrac{4}{9})$は条件を満たす。\\
\ \\
$a=-\dfrac{1}{6}$のとき\\
$2ac+c+b^2=\dfrac{4}{9}$より\\
$(2a+1)c+b^2=\dfrac{4}{9}$\\
$(-\dfrac{2}{6}+1)c+b^2=\dfrac{4}{9}$\\
$\dfrac{2}{3}c+b^2=\dfrac{4}{9}$\\
$\dfrac{2}{3}c=\dfrac{4}{9}-b^2$\\
$c=\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{2}b^2$\\
$bc-c-\frac{b}{2}-\frac{a}{3}=-\dfrac{4}{9}$に代入すると\\
$(b-1)(\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{2}b^2)-\dfrac{b}{2}+\dfrac{1}{18}=-\dfrac{4}{9}$\\
$\dfrac{2}{3}(b-1)(1-\dfrac{9}{4}b^2)-\dfrac{b}{2}=-\dfrac{8}{18}-\dfrac{1}{18}$\\
$12(b-1)(1-\dfrac{9}{4}b^2)-9b=-9$\\
$3(b-1)(4-9b^2)-9b=-9$\\
$3(b-1)(4-9b^2)=9(b-1)$\\
$3(b-1)(4-9b^2)-9(b-1)=0$\\
$3(b-1)(4-9b^2-3)=0$\\
$3(b-1)(1-9b^2)=0$\\
$3(b-1)(1-3b)(1+3b)=0$\\
$b=1,-\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{3}$\\
このとき$c=\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{2}b^2$なので\\
$b=1\ \to\ c=-\dfrac{5}{6}$\\
$b=\dfrac{1}{3} \ \to\ c=\dfrac{1}{2}$\\
$b=-\dfrac{1}{3} \ \to\ c=\dfrac{1}{2}$\\
以上より\\
$(a,b,c)=(0,0,\dfrac{4}{9}),(-\dfrac{1}{6},1,-\dfrac{5}{6}),(-\dfrac{1}{6},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{2}),(-\dfrac{1}{6},-\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{2})$
\ \\
$n=0$の時は$(a,b)=(0,0)$の場合に相当するので、上の結果の一部。\\
よって求める多項式は\\
\begin{eqnarray*}
f(x)&=&\dfrac{4}{9}\\
f(x)&=&-\dfrac{1}{6}x^2+x-\dfrac{5}{6}\\
f(x)&=&-\dfrac{1}{6}x^2+\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{2}\\
f(x)&=&-\dfrac{1}{6}x^2-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{2}\\
\end{eqnarray*}
\end{document}

