%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\begin{document}
{\large 京都大学　1976年　入学試験　文系数学　問題4}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
\begin{enumerate}
 \item　点 $(x,y)$ が直線 $y=ax$ の上を動くとき，点 $(2x-y,x-2y)$ は原点
      を通る1つの直線 $l$ の上を動くことを示せ．
 \item　(1)における2つの直線 $y=ax$ と $l$ とが一致するような $a$ の値は
      2つあることを示し，そのような $a$ の値を $a_1$，$a_2$ とするとき，
      2つの直線 $y=a_1x$ と $y=a_2x$ との間の角を求めよ．
\end{enumerate}
\ \\
{\large 解答}\\
\\
1.\\
$y=ax$なので
$(2x-y,x-2y)$に代入すると$(2x-ax,x-2ax)=((2-a)x,(1-2a)x)$
これは、$a \neq 2$の時\\
$y=\dfrac{1-2a}{2-a}x$の直線動く点
$a=2$のときは\\
$x=0$の直線つまり、$y$軸に一致する直線となる。\\
どちらにしても$x=0$のとき、$y=0$を通るので、原点を通る。\\
\ \\
2.\\
$a\neq2$の場合\\
$y=\dfrac{1-2a}{2-a}x$と$y=ax$が一致するためには
$\dfrac{1-2a}{2-a}=a$であることが必要。\\
$-a^2+4a-1=0$より$a=2\pm \sqrt{3}$\\
よって$a$は二つある。\\
このとき、$a_1=2+\sqrt{3},a_2=2-\sqrt{3}$とすると\\
$y=(2+\sqrt{3})x$と$y=(2-\sqrt{3})$となる。\\
$y=(2+\sqrt{3})x$が$x$軸となす角$\theta_1$は、$\tan \theta_1=2+\sqrt{3}$となり\\
$y=(2-\sqrt{3})x$が$x$軸となす角$\theta_2$は、$\tan \theta_2=2-\sqrt{3}$となる。\\
したがってこの２つの直線のなす角$\theta$は\\
$\theta_1-\theta_2$となるので\\
\begin{eqnarray*}
\tan(\theta_1-\theta_2)&=&\dfrac{\tan \theta_1-\tan\theta_2}{1+\tan\theta_1 \tan\theta_2}\\
&=&\dfrac{2+\sqrt{3}-(2-\sqrt{3})}{1+(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}\\
&=&\dfrac{2\sqrt{3}}{2}\\
&=&\sqrt{3}
\end{eqnarray*}
$\tan \theta=\sqrt{3}$より\\
$\theta = \dfrac{\pi}{3}+n\pi$\\
となるが、直線のなす角なので、$\pi$の整数倍は無視して構わない\\
よって、$\dfrac{\pi}{3}$\\
\ \\
$a=2$の場合\\
$(2-a)y=(1-2a)x$が$y=ax$とは一致しない。\\
よって、$l$と$y=ax$が一致する場合の時\\
２直線のなす角は
$$\dfrac{\pi}{3}$$
\end{document}

