%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
\def\dvec#1{\overrightarrow{#1}}
\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1976年　入学試験　文系数学　問題5}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　初項 $a_1=2$，第2項 $a_2=3$ であるような数列で，一般項 $a_n$ が簡単な
式で与えられるものを作りたい．$A$，$B$，$C$，$D$ は $n$ または定数，$*$ 
は四則演算（$+$，$-$，$\times$，$\div$）のうちのいずれか，$A^n$ は $A$ 
の $n$ 乗をあらわすとき，
\begin{enumerate}
 \item　$a_n=A*B*C*D$ の形の式で与えられる数列
 \item　$a_n=A^n*B*C$ の形の式で与えられる数列
\end{enumerate}
で，$a_1=2$，$a_2=3$ をみたすものをそれぞれ3つずつ，合わせて6つの相異な
る数列を作れ．ただし，1つの式の中の $*$ は異なる四則演算を使ってもよく，
$+0$，$\times 1$ は等は省略してよい．\\
\ \\
{\large 解答}\\
\\
1.\\
1-1\\
公差$1$、初項$2$の等差数列\\
$a_n=n+1+0+0$\\
$$a_n=n+1$$
1-2\\
$$a_n=n \times n \div 3+\dfrac{5}{3}$$
1-3\\
$$a_n=\dfrac{2}{3} \div n + \dfrac{4}{3} \times n$$
2.\\
2-1\\
$$a_n=1^n+n$$
2-2\\
$$a_n=\left(\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right) ^ n +\dfrac{5-\sqrt{3}i}{2}$$
2-3\\
$$a_n=\left(\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}\right) ^ n +\dfrac{5+\sqrt{3}i}{2}$$
\end{document}

