%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\begin{document}
{\large 京都大学　1976年　入学試験　文系数学　問題6}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　曲線 $y=\alpha x^3-\beta x$（$\alpha\neq 0$）の上にある2点P，Qにおい
て，この曲線の接線がいずれも線分PQと垂直になっているという．
\begin{enumerate}
 \item　このような2点P，Qは原点に関して対称な位置にあることを示せ．
 \item　また，このような2点P，Qがあるためには $(\alpha,\beta)$ はどのよ
      うな範囲になければならないか．
\end{enumerate}
\ \\
{\large 解答}\\
\\
Pの座標を$(x_1,y_1)$\\
Qの座標を$(x_2,y_2)$\\
$f(x)=\alpha x^3-\beta x$\\
とする。\\
1.\\
点PQそれぞれの点の接線の傾きは\\
$f'(x_1),f'(x_2)$\\
となる。\\
このとき１本の線分PQに対してこれらの接線が垂直であることから、この接線は平行\\
したがって、この二つの接線は傾きが等しい必要がある。\\
よって、$f'(x_1)=f'(x_2)$\\
$f'(x)=3\alpha x^2-\beta$であるので
$f'(x_1)=f'(x_2)$より\\
\begin{eqnarray*}
3\alpha {x_1}^2-\beta = 3\alpha {x_2}^2-\beta\\
\alpha{x_1}^2 = \alpha{x_2}^2
\end{eqnarray*}
$\alpha \neq 0$より\\
$x_1=\pm x_2$\\
線分PQが存在するためには、P、Qはことなる必要があるので
$x_1\neq x_2$または$y_1 \neq y_2$\\
しかし、$y$は$x$によって一意に定まるので、$x_1 = x_2$ならば$y_1 = y_2$\\
よって、$x_1 \neq x_2$が必要。\\
したがって、$x_1=-x_2$\\
$y_2=\alpha {x_2}^3-\beta x_2=-\alpha {x_1}^3 + \beta x_1$より
$y_1=-y_2$\\
以上より、P,Qは原点に対して対称の位置にある。\\
\ \\
2.\\
$x_1 \neq x_2$より線分PQは$y$軸に平行ではない\\
よって線分PQをあらわす式を$y=ax+b$とすることができる。\\
この直線は、P、Qを通るので\\
$y_1=ax_1+b$\\
$y_2=ax_2+b$\\
を満たす。\\
よって、$a$を求めると\\
$y_1=ax_1+b$\\
$y_2=ax_2+b$\\
$a=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$\\
このとき、Pにおける接線と平行なベクトル$(1,3\alpha {x_1}^2-\beta)$と\\
PQと平行なベクトル$(1,\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2})$が直交することから\\
内積が０\\
よって$1+\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}(\alpha {x_1}^2-\beta)=0$\\
$x_2=-x_1$、$y_2=-y_1$、$y_1=\alpha {x_1}^3-\beta x_1$より
\begin{eqnarray*}
\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}(\alpha {x_1}^2-\beta)+1&=&0\\
\dfrac{2y_1}{2x_1}(3\alpha {x_1}^2-\beta)+1&=&0\\
\dfrac{\alpha {x_1}^3-\beta x_1}{x_1}(3\alpha {x_1}^2-\beta)+1&=&0\\
(\alpha {x_1}^2-\beta)(3\alpha {x_1}^2-\beta)+1&=&0\\
3\alpha^2 {x_1}^4-4\alpha\beta {x_1}^2+\beta^2+1&=&0\\
\end{eqnarray*}
この方程式が、$0$でない実数解を持つことが必要なので\\
$X={x_1}^2$とおいたとき、\\
$x_1$が実数であれば、$X$は正の実数なので\\
$3\alpha^2 X^2-4\alpha\beta X+\beta^2+1=0$\\
が正の実数解を持つことが必要。\\
この方程式の解は\\
$X=\dfrac{2\beta \pm \sqrt{\beta^{2}-3}}{3\alpha}$\\
なので\\
実数であるためには\\
$\beta^{2}-3 \geqq 0 \ \ \to \ \ |\beta| \geqq \sqrt{3}$が必要\\
$\alpha>0$ならば\\
正の解を持つためには$\sqrt{\beta^2-3}>0$なので\\
$2\beta + \sqrt{\beta^{2}-3} > 0$\\
が必要。\\
$2\beta > \sqrt{\beta^{2}-3}$より\\
$\beta>0$\\
よって\\
$4\beta^2>\beta^2-3$\\
$\beta^2>-1$\\
これは$\beta>0$において常に成立する。\\
よって$\beta>0$より$\beta \geqq \sqrt{3}$\\
\ \\
$\alpha<0$ならば\\
同様に\\
$2\beta - \sqrt{\beta^{2}-3}<0$\\
$2\beta < \sqrt{\beta^{2}-3}$\\
$\beta \leqq 0$なら常に成立するので\\
$\beta>0$の時を考えると\\
$4\beta^2 < \beta^{2}-3$\\
$3\beta^2 < -3$\\
となり成立しない\\
したがって$\beta \leqq 0$\\
よって$\beta \leqq -\sqrt{3}$\\
以上より\\
\\
P,Qが存在するためには\\
$\alpha>0$のときは$\beta \geqq \sqrt{3}$\\
$\alpha<0$のときは$\beta \leqq -\sqrt{3}$\\
が必要。\\
またこの条件のもとでは\\
$X$の正の解が存在し、$x_1$をその平方根の正の方としたとき、Pが確定できて、同時にQも決まる。\\
そのPQについては条件が成立する。\\
よってこの条件は十分である。\\
以上より、\\
P,Qが存在するためには\\
$\alpha>0$のときは$\beta \geqq \sqrt{3}$\\
$\alpha<0$のときは$\beta \leqq -\sqrt{3}$\\
が必要十分\\
よって点$(\alpha,\beta)$は\\
$x$軸の正の部分では、$y \geqq \sqrt{3}$,負の部分では$y \leqq -\sqrt{3}$の範囲\\
\end{document}

