%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\dint{\displaystyle\int}
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\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1976年　入学試験　理系数学　問題1}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
\begin{enumerate}
 \item　多項式 $f(x)=x^n$ が，区間 $-\dfrac{1}{2}\leqq x\leqq
      \dfrac{1}{2}$ において不等式 $|f(x)|<\dfrac{1}{1000}$ をみたすため
      には，$n$ をどのようにとればよいか．
 \item　最高次の係数が1である多項式 $g(x)$ で，区間 $0\leqq x\leqq 1$ に
      おいて不等式 $|g(x)|<\dfrac{1}{1000}$ をみたし，さらに 
      $10000<|g(3)|<100000$ であるようなものの例を1つあげよ． 
\end{enumerate}
\ \\
{\large 解答}\\
\\
1.\\
多項式なので、$n$は正または$0$の整数\\
$n=0$の場合は、$f(x)=1$より題意を満たさない。\\
よって、$n \neq 0$\\
$n=1$の場合
$f(x)=x$となり、$f(1)=1$となり、題意を満たさない。\\
よって、$n\neq 1$\\
したがって、$n \geqq 2$\\
$f(x)=x^n$より$f'(x)=nx^{n-1}$\\
$n$が偶数の時\\
$n=2l$とおく\\
$x<0$の範囲で$f'(x)=nx^{n-1}<0$\\
$x>0$の範囲で$f'(x)=nx^{n-1}>0$\\
よって$f(x)$は$x<0$の範囲で、単調減少、$x>0$の範囲で、単調増加\\
したがって、区間$\left[-\dfrac{1}{2} \leqq x \leqq \dfrac{1}{2}\right]$では\\
$x=0$において最小となり最小値は$f(0)=0$\\
よって$f(x) \geqq 0$なので、絶対値記号はそのままはずせる。\\
$x=-\dfrac{1}{2}$と$x=\dfrac{1}{2}$のどちらか$f(x)$の大きい方で最大となるが\\
$f(-\dfrac{1}{2})=(-\dfrac{1}{2})^{n}=(-\dfrac{1}{2})^{2l}=((-\dfrac{1}{2})^{2})^{l}=((\dfrac{1}{2})^{2})^{l}=f(\dfrac{1}{2})$\\
より、$f(-\dfrac{1}{2})=f(\dfrac{1}{2})$となり、最大値は$f(\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{2^n}$\\
この値が$<\dfrac{1}{1000}$となれば十分\\
したがって、$\dfrac{1}{2^n}<\dfrac{1}{1000}$より$2^n>1000$\\
よって、$n>log_2 1000$\\
$2^{10}=1024$より$n\geqq 10$\\
$n$が奇数の時\\
$n=2l+1$とおく\\
$f'(x)=nx^{n-1} \geqq 0$より\\
よって$f(x)$は単調増加\\
したがって、区間$\left[-\dfrac{1}{2} \leqq x \leqq \dfrac{1}{2}\right]$では\\
$x=-\dfrac{1}{2}$において最小値をとり\\
$x=\dfrac{1}{2}$において最大値を取る。\\
$f(-\dfrac{1}{2})=(-\dfrac{1}{2})^{n}=(-\dfrac{1}{2})^{2l+1}=-\dfrac{1}{2}((-\dfrac{1}{2})^{2})^{l}=-f(\dfrac{1}{2})$\\
より、$f(-\dfrac{1}{2})=-f(\dfrac{1}{2})$となるので$|f(-\dfrac{1}{2})|=|f(\dfrac{1}{2})|$\\
よって、$|f(x)|$の最大値は$f(\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{2^n}$\\
この値が$<\dfrac{1}{1000}$となれば十分\\
したがって、$\dfrac{1}{2^n}<\dfrac{1}{1000}$より$2^n>1000$\\
よって、$n>log_2 1000$\\
$2^{10}=1024$より$n\geqq 10$であるが\\
$n$が奇数なので$n\geqq 11$\\
両方の条件を合わせて
$$n\geqq 10$$
\ \\
2.\\
1.より\\
$g(x)=f(x-1/2)=(x-1/2)^n\,(n \geqq 10)$とすると\\
最高次数は$n$でその係数は１であるり\\
$|g(x)|<\dfrac{1}{1000}\,(0\leqq x \leqq 1)$\\
を満たす。\\
\\
このとき、$g(3)=(\dfrac{5}{2})^n=\dfrac{5^n}{2^n}$なので\\
$10000<|g(3)|<100000$となれば条件を満たす。\\
\begin{eqnarray*}
10000&<\dfrac{5^n}{2^n}<&100000\\
10^42^n&<5^n<&10^52^n\\
5^42^{n+4}&<5^n<&5^52^{n+5}\\
2^{n+4}&<5^{n-4}<&5\cdot 2^{n+5}\\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
2^{n+4}&<&5^{n-4}\\
(n+4) \log 2 &<& (n-4)\log 5\\
\dfrac{n+4}{n-4}  &<& \dfrac{\log 5}{\log 2}\\
n&>&10.05176637892824\\
n&\geqq&11\\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
5^{n-4}&<&5\cdot 2^{n+5}\\
5^{n-5}&<&\cdot 2^{n+5}\\
(n-5)\log 5 &<& (n+5)\log 2\\
\dfrac{n-5}{n+5} &<&\dfrac{\log 2}{\log 5} \\
n&<&12.5647079736603\\
n&\leqq&12\\
\end{eqnarray*}
以上より、$n=11,12$であれば、条件を満たす。
よって、すくなくとも\\
$$(x-\dfrac{1}{2})^{11}$$
が条件を満たす。\\
実際に
$g'(x)=11(x-\dfrac{1}{2})^{10}>0$より単調増加\\
よって、最大値は
$$g(1)=\dfrac{1}{2^{10}}=\dfrac{1}{1024}<\dfrac{1}{1000}$$\\
$$g(3)=(\dfrac{5}{2})^{11}=\frac{48828125}{2048}$$\\
$$10000<\frac{48828125}{2048}<100000$$\\
$$20480000<48828125<204800000$$\\
以上\\
\end{document}

