%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
\documentclass[a4j,10pt,fleqn]{jsarticle}
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
\def\dvec#1{\overrightarrow{#1}}
\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1976年　入学試験　理系数学　問題2}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　1つの平面内にある，いくつかの0でないベクトルからなる集合 $S$ が条件\\
　　``$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$ が $S$ のベクトルであれば %
$\dfrac{2(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})}{(\boldsymbol{b},\boldsymbol{b})}$ %
は整数である''\\
をみたしているという．ただし，$(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})$ 
等はベクトルの内積をあらわす．
\begin{enumerate}
 \item　$S$ の2つのベクトルの間の角は，$0^\circ$，$30^\circ$，$45^\circ$，
      $60^\circ$，$90^\circ$ およびこれらの補角のうちの1つであることを示
      せ．
 \item　(1)において，角が $0^\circ$，$30^\circ$，$60^\circ$ の場合には，
      2つのベクトルの長さの比はどうなるか．
 \item　$30^\circ$ の角をなすベクトル $\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$\ 
      を含み，12個のベクトルからなる集合 $S$ の例を図示し，各ベクトルを 
      $\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$ であらわせ．
\end{enumerate}

\ \\
{\large 解答}\\
\\
1.\\
$\boldsymbol{a}=(x_a,y_a)$\\
$\boldsymbol{b}=(x_b,y_b)$\\
とすると\\
$\dfrac{2(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})}{(\boldsymbol{b},\boldsymbol{b})}=\dfrac{2(x_ax_b+y_ay_b)}{{x_b}^2+{y_b}^2}$
これが整数なので\\
$\dfrac{2(x_ax_b+y_ay_b)}{{x_b}^2+{y_b}^2}=n$と表せる。\\
したがって\\
$2(x_ax_b+y_ay_b)=n({x_b}^2+{y_b}^2)$\\
$2x_ax_b+2y_ay_b=n{x_b}^2+n{y_b}^2$\\
$2x_ax_b-n{x_b}^2=n{y_b}^2-2y_ay_b$\\
$x_b(2x_a-nx_b)=y_b(ny_b-2y_a)$\\
$x_b(2x_a-nx_b)+y_b(2y_a-ny_b)=0$\\
$\boldsymbol{c}=(2x_a-nx_b,2y_a-ny_b)$としたとき\\
$(\boldsymbol{b},\boldsymbol{c})=0$\\
つまり、$\boldsymbol{b}$と$\boldsymbol{c}$は直交する。\\
$\boldsymbol{c}=(2x_a-nx_b,2y_a-ny_b)=2\boldsymbol{a}-n\boldsymbol{b}$なので\\
原点Oから$2\boldsymbol{a}$を伸ばし、その点をA\\
Aから$\boldsymbol{b}$と逆向きに $n|\boldsymbol{b}|$の長さに
とった点をCとすると
三角形OACの角Cは$90^\circ$となる。\\
このとき、角A$=\theta$を考えると
$\cos \theta = \dfrac{n|b|}{2|a|}$\\
$\cos^2 \theta = \dfrac{n^2|b|^2}{2^2|a|^2}$\\
$\cos^2 \theta = \dfrac{n^2(\boldsymbol{b},\boldsymbol{b})}{2^2|a|^2}$\\
$\cos^2 \theta = \dfrac{2n(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})}{2^2|a|^2}$\\
$\cos^2 \theta = \dfrac{n(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})}{2(\boldsymbol{a},\boldsymbol{a})}$\\

となるが$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ともに$S$の要素なので\\
仮定より
$\dfrac{2(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})}{(\boldsymbol{a},\boldsymbol{a})}$は整数。\\
したがってこれを$m$とおくと\\
$\cos^2 \theta = \dfrac{nm}{4}$\\
$m,n$ともに整数なので$mn=l$とすると$\cos\theta=\dfrac{\pm \sqrt{l}}{2}$\\
$-1 \leqq \cos\theta \leqq 1$より\\
$0 \leqq l \leqq 4$\\
$l$は$(0,1,2,3,4)$のどれかとなるので\\
$\cos\theta$は$(-1,\dfrac{-\sqrt{3}}{2},\dfrac{-1}{\sqrt{2}},\dfrac{-1}{2},0,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{\sqrt{3}}{2},1)$
となる。\\
したがって、$\theta$は\\
$180^\circ,150^\circ,135^\circ,120^\circ,90^\circ,60^\circ,45^\circ,30^\circ,0^\circ$となる。\\
角Aは$\boldsymbol{a}$と$\boldsymbol{b}$のなす角の錯角なので値は等しい。\\
よって$S$の二つのベクトルのなす角は$0^\circ,30^\circ,45^\circ,60^\circ,90^\circ$およびその補角となる。\\
2.\\
角が$0^\circ,30^\circ,60^\circ$のとき\\
$\cos\theta=\dfrac{1,\sqrt{3}}{2},\dfrac{1}{2}$\\
よって、$l=1,3,4$\\
$mn=1,3,4$であるから、$(n,m)=(1,1),(1,3),(3,1),(1,4),(2,2),(4,1)$の組がある。\\
$(n,m)=(1,1)$のとき\\
$\cos \theta= \dfrac{1}{2}$\\
$\cos \theta = \dfrac{|b|}{2|a|}$\\
より\\
$\dfrac{|b|}{2|a|}=\dfrac{1}{2}$\\
$|b|=|a|$\\
よって、二つのベクトルの長さは等しい\\
$(n,m)=(1,3)$のとき\\
$\cos \theta= \dfrac{\sqrt{3}}{2}$\\
$\cos \theta = \dfrac{|b|}{2|a|}$\\
より\\
$\dfrac{|b|}{2|a|}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$\\
$|b|=\sqrt{3}|a|$\\
よって、二つのベクトルの長さの比は$\sqrt{3}$\\
$(n,m)=(3,1)$のとき\\
同様に
$|a|=\sqrt{3}|b|$\\
よって、二つのベクトルの長さの比は$\sqrt{3}$\\
$(n,m)=(1,4)$のとき\\
$\cos \theta = 1$\\
$\cos \theta = \dfrac{|b|}{2|a|}$\\
より\\
$|b|=2|a|$\\
比は2\\
$(n,m)=(2,2)$のとき\\
$\cos \theta = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$\\
$\cos \theta = \dfrac{2|b|}{2|a|}$\\
より\\
$|a|=\sqrt{2}|b|$\\
比は$\sqrt{2}$\\
$(n,m)=(1,4)$のとき\\
同様に\\
$|a|=2|b|$\\
以上より、角が
$0^\circ$のとき長さの比は$2または\sqrt{2}$\\
$30^\circ$のとき長さの比は$\sqrt{3}$\\
$60^\circ$のとき長さは等しい\\
3.\\
\includegraphics[width=8cm,clip]{1976l_2.eps}\\
$S=\{\boldsymbol{a}_1,\ldots,\boldsymbol{a}_{12}\}$とし\\
$\boldsymbol{a}_1=\boldsymbol{a}=(1,0)$\\
$\boldsymbol{a}_2=\boldsymbol{b}=(\dfrac{3}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2})$\\
とする。\\
$\boldsymbol{a}_3=\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}$\\
$\boldsymbol{a}_4=2\boldsymbol{b}-3\boldsymbol{a}$\\
$\boldsymbol{a}_5=\boldsymbol{b}-2\boldsymbol{a}$\\
$\boldsymbol{a}_6=\boldsymbol{b}-3\boldsymbol{a}$\\
$\boldsymbol{a}_7=-\boldsymbol{a}$\\
$\boldsymbol{a}_8=-\boldsymbol{b}$\\
$\boldsymbol{a}_9=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$\\
$\boldsymbol{a}_{10}=3\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}$\\
$\boldsymbol{a}_{11}=2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$\\
$\boldsymbol{a}_{12}=3\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$\\



\end{document}

