%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
\documentclass[a4j,10pt,fleqn]{jsarticle}
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
\def\dvec#1{\overrightarrow{#1}}
\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1976年　入学試験　理系数学　問題2}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　1つの平面内にある，いくつかの0でないベクトルからなる集合 $S$ が条件\\
　　``$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$ が $S$ のベクトルであれば %
$\dfrac{2(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})}{(\boldsymbol{b},\boldsymbol{b})}$ %
は整数である''\\
をみたしているという．ただし，$(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})$ 
等はベクトルの内積をあらわす．
\begin{enumerate}
 \item　$S$ の2つのベクトルの間の角は，$0^\circ$，$30^\circ$，$45^\circ$，
      $60^\circ$，$90^\circ$ およびこれらの補角のうちの1つであることを示
      せ．
 \item　(1)において，角が $0^\circ$，$30^\circ$，$60^\circ$ の場合には，
      2つのベクトルの長さの比はどうなるか．
 \item　$30^\circ$ の角をなすベクトル $\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$\ 
      を含み，12個のベクトルからなる集合 $S$ の例を図示し，各ベクトルを 
      $\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$ であらわせ．
\end{enumerate}

\ \\
{\large 解答}\\
\\
1.\\
$\boldsymbol{a}=(x_a,y_a)$\\
$\boldsymbol{b}=(x_b,y_b)$\\
とする\\
$\dfrac{2(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})}{(\boldsymbol{b},\boldsymbol{b})}$
が整数なので\\
$\dfrac{2(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})}{(\boldsymbol{b},\boldsymbol{b})}=n$ $n$は整数\\
と表せる。\\
また、
$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ともに$S$の要素なので、
$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$を入れ換えた\\
$\dfrac{2(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})}{(\boldsymbol{a},\boldsymbol{a})}$も整数でなければならないので\\
$\dfrac{2(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b})}{(\boldsymbol{a},\boldsymbol{a})}=m$ $m$は整数\\
と表せる。\\
$n(\boldsymbol{b},\boldsymbol{b})=m(\boldsymbol{a},\boldsymbol{a})$となり\\
$n|\boldsymbol{b}|^2=m|\boldsymbol{a}|^2$となる\\
また\\
余弦定理より\\
$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$のなす角を$\theta$とすると\\
$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|^2=|\boldsymbol{a}|^2+|\boldsymbol{b}|^2-2\cos \theta |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|$より\\
$(x_a-x_b)^2+(y_a-y_b)^2={x_a}^2+{y_a}^2+{x_b}^2+{y_b}^2-2\cos \theta \sqrt{({x_a}^2+{y_a}^2)({x_b}^2+{y_b}^2)}$\\

${x_a}^2+{x_b}^2-2x_ax_b+{y_a}^2+{y_b}^2-2y_ay_b={x_a}^2+{y_a}^2+{x_b}^2+{y_b}^2-2\cos \theta \sqrt{({x_a}^2+{y_a}^2)({x_b}^2+{y_b}^2)}$\\
$-2x_ax_b-2y_ay_b=-2\cos \theta \sqrt{({x_a}^2+{y_a}^2)({x_b}^2+{y_b}^2)}$\\
$x_ax_b+y_ay_b=\cos \theta \sqrt{({x_a}^2+{y_a}^2)({x_b}^2+{y_b}^2)}$\\
$\cos \theta=\dfrac{x_ax_b+y_ay_b}{\sqrt{({x_a}^2+{y_a}^2)({x_b}^2+{y_b}^2)}}$\\
$x_ax_b+y_ay_b=\dfrac{m}{2}({x_a}^2+{y_a}^2)$より\\
\begin{eqnarray*}
\cos \theta&=&\dfrac{m({x_a}^2+{y_a}^2)}{2\sqrt{({x_a}^2+{y_a}^2)({x_b}^2+{y_b}^2)}}\\
&=&\sqrt{\dfrac{m^2({x_a}^2+{y_a}^2)^2}{4({x_a}^2+{y_a}^2)({x_b}^2+{y_b}^2)}}\\
&=&\sqrt{\dfrac{m^2({x_a}^2+{y_a}^2)}{4({x_b}^2+{y_b}^2)}}\\
&=&\sqrt{\dfrac{m^2|\boldsymbol{a}|^2}{4|\boldsymbol{b}|^2}}
\end{eqnarray*}
$n|\boldsymbol{b}|^2=m|\boldsymbol{a}|^2$\\
より\\
\begin{eqnarray*}
\cos \theta&=&\sqrt{\dfrac{mn|\boldsymbol{b}|^2}{4|\boldsymbol{b}|^2}}\\
&=&\sqrt{\dfrac{mn}{4}}\\
&=&\dfrac{\sqrt{mn}}{2}
\end{eqnarray*}
$m,n$ともに整数なので$mn=l$とすると$\cos\theta=\dfrac{\sqrt{l}}{2}$\\
$-1 \leqq \cos\theta \leqq 1$より\\
$0 \leqq l \leqq 4$\\
$l$は$(0,1,2,3,4)$のどれかとなるので\\
$\cos\theta$は$(0,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{\sqrt{3}}{2},1)$
となる。\\
したがって、$\theta$は\\
$\pm90^\circ,\pm60^\circ,\pm45^\circ,\pm30^\circ,0^\circ$となる。\\
よって$S$の二つのベクトルのなす角は$0^\circ,30^\circ,45^\circ,60^\circ,90^\circ$およびその補角となる。\\
2.\\
角が$0^\circ,30^\circ,60^\circ$のとき\\
$\cos\theta=1,\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{1}{2}$\\
よって、$l=1,3,4$\\
$mn=1,3,4$であるから、$(n,m)=(1,1),(1,3),(3,1),(1,4),(2,2),(4,1)$の組がある。\\
$(n,m)=(1,1)$のとき\\
$|\boldsymbol{a}|^2=|\boldsymbol{b}|^2$となり\\
二つのベクトルの長さは等しい\\
$(n,m)=(1,3)$のとき\\
$|\boldsymbol{a}|^2=3|\boldsymbol{b}|^2$となり\\
二つのベクトルの長さの比は$\sqrt{3}$\\
$(n,m)=(3,1)$のとき\\
同様に二つのベクトルの長さの比は$\sqrt{3}$\\
$(n,m)=(1,4)$のとき\\
$|\boldsymbol{a}|^2=4|\boldsymbol{b}|^2$となり\\
比は2\\
$(n,m)=(2,2)$のとき\\
$|\boldsymbol{a}|^2=|\boldsymbol{b}|^2$となり\\
比は1\\
$(n,m)=(1,4)$のとき\\
同様に\\
比は2\\
以上より、角が\\
$0^\circ$のとき長さの比は$2$または$1$\\
$30^\circ$のとき長さの比は$\sqrt{3}$\\
$60^\circ$のとき長さは比は$1$\\
3.\\
\includegraphics[width=8cm,clip]{1976l_2.eps}\\
$S=\{\boldsymbol{a}_1,\ldots,\boldsymbol{a}_{12}\}$とし\\
$\boldsymbol{a}_1=\boldsymbol{a}=(1,0)$\\
$\boldsymbol{a}_2=\boldsymbol{b}=(\dfrac{3}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2})$\\
とする。\\
$\boldsymbol{a}_3=\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}$\\
$\boldsymbol{a}_4=2\boldsymbol{b}-3\boldsymbol{a}$\\
$\boldsymbol{a}_5=\boldsymbol{b}-2\boldsymbol{a}$\\
$\boldsymbol{a}_6=\boldsymbol{b}-3\boldsymbol{a}$\\
$\boldsymbol{a}_7=-\boldsymbol{a}$\\
$\boldsymbol{a}_8=-\boldsymbol{b}$\\
$\boldsymbol{a}_9=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$\\
$\boldsymbol{a}_{10}=3\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}$\\
$\boldsymbol{a}_{11}=2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$\\
$\boldsymbol{a}_{12}=3\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$\\



\end{document}

