%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1976年　入学試験　理系数学　問題4}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　正の数列 $a_n$（$n=1$，2，3，$\cdots$）が不等式
\[
 {a_n}^3+3{a_n}^2-\Bigl(9+\dfrac{1}{n}\Bigr)a_n+5<0
\]
をみたしているとき，次の(1)，(2)を証明せよ．ただし，(2)を先に証明しても
よい．
\begin{enumerate}
 \item　$\dlim_{n\to\infty}a_n=1$
 \item　$(a_n-1)^2<\dfrac{1}{4n}$．
\end{enumerate}
\ \\
{\large 解答}\\
\\
まず2.を証明する。\\
仮定より
\begin{eqnarray*}
{a_n}^3+3{a_n}^2-\Bigl(9+\dfrac{1}{n}\Bigr)a_n+5<0\\
{a_n}^3+3{a_n}^2-9a_n-\dfrac{a_n}{n}+5<0\\
{a_n}^3+3{a_n}^2-9a_n+5-\dfrac{a_n}{n}<0\\
(a_n-1)^2(a_n+5)<\dfrac{a_n}{n}\\
(a_n-1)^2<\dfrac{a_n}{(a_n+5)n}\\
(a_n-1)^2<\dfrac{a_n}{(a_n+5)}\dfrac{1}{n}\\
\end{eqnarray*}
$f(x)=x^3+3x^2-\Bigl(9+\dfrac{1}{n}\Bigr)x+5$とおく\\
$a_n>0$より$x>0$の範囲で考える。\\
$f'(x)=3x^2+6x-9-\dfrac{1}{n}$\\
$f''(x)=6x+6$\\
より$x>0$の範囲では$f''(x)>0$\\
したがって$x>\dfrac{5}{3}$の範囲でも\\
$f'(x)>f'(\dfrac{5}{3})$\\
$f'(\dfrac{5}{3})=\dfrac{25}{3}+10-9-\dfrac{1}{n}=\dfrac{28}{3}-\dfrac{1}{n}=\dfrac{28n-3}{3n}>0$\\
より$f'(x)>0$\\
よって\\
$f(x)$は$x>\dfrac{5}{3}$の範囲で単調増加\\
したがって\\
$f(x)>f(\dfrac{5}{3})=\dfrac{5}{3}^3+3\dfrac{5}{3}^2-9\dfrac{5}{3}-\dfrac{5}{3n}+5=\dfrac{5(16n-9)}{27n}>0$\\
しかし$f(a_n)<0$なので\\
少なくとも$a_n<\dfrac{5}{3}$が必要。\\
したがって
\begin{eqnarray*}
a_n<\dfrac{5}{3}\\
3a_n<5\\
4a_n<a_n+5\\
\dfrac{a_n}{a_n+5}<\dfrac{1}{4}
\end{eqnarray*}
以上より\\
$(a_n-1)^2<\dfrac{a_n}{(a_n+5)}\dfrac{1}{n}<\dfrac{1}{4n}$\\
\ \\
次に1.\\
2.より\\
$(a_n-1)^2<\dfrac{1}{4n}$\\
$(a_n-1)^2>0$より\\
$0<\dlim_{n\to\infty} (a_n-1)^2 < \dlim_{n\to\infty}\dfrac{1}{4n}$\\
$\dlim_{n\to\infty}\dfrac{1}{4n}=0$より\\
挟みうちの法則により\\
$\dlim_{n\to\infty} (a_n-1)^2=0$\\
よって\\
$\dlim_{n\to\infty} a_n-1=0$\\
$\dlim_{n\to\infty} a_n=1$\\
となる。
\\
\end{document}

