%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
\def\dvec#1{\overrightarrow{#1}}
\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1976年　入学試験　理系数学　問題6}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　外観では区別できない2つの袋 $\text{U}_1$，$\text{U}_2$ があり，
$\text{U}_1$ には $4n$ 個の赤玉と $n$ 個の白玉，$\text{U}_2$ には $2n$ 
個の赤玉と $3n$ 個の白玉がそれぞれ入っている．この袋のどちらかが観測者に
手渡され，袋 $\text{U}_1$ が手渡される確率は $\dfrac{2}{3}$，袋 
$\text{U}_2$ が手渡される確率は $\dfrac{1}{3}$ である．観測者は手渡され
た袋から 3 個玉をとりだし，赤玉の数が白玉の数より多いときは手渡された袋
は $\text{U}_1$ であると判断し，そうでないときは $\text{U}_2$ であると判
断する．観測者が誤った判断を下す確率を $p_n$ とするとき，
$\dlim_{n\to\infty}p_n$ を求めよ．
\ \\
{\large 解答}\\
\\
$\text{U}_1$が手渡された場合\\
誤った判断を下すのは取り出した３個の玉が(赤白白)または(白白白)のとき\\
$\text{U}_1$には$4n$個の赤玉と$n$個の白玉が入っているので\\
(赤白白)となるのは\\
$\dfrac{4n}{5n}\times \dfrac{n}{5n-1} \times \dfrac{n-1}{5n-2}$\\
(白赤白)となるのは\\
$\dfrac{n}{5n}\times \dfrac{4n}{5n-1} \times \dfrac{n-1}{5n-2}$\\
(白白赤)となるのは\\
$\dfrac{n}{5n}\times \dfrac{n-1}{5n-1} \times \dfrac{4n}{5n-2}$\\
したがってこの確率は\\
$\dfrac{12n^2(n-1)}{5n(5n-1)(5n-2)}$\\
(白白白)となるのは\\
$\dfrac{n}{5n}\times \dfrac{n-1}{5n-1} \times \dfrac{n-2}{5n-2}$\\
$\dfrac{n(n-1)(n-2)}{5n(5n-1)(5n-2)}$\\
\ \\
$\text{U}_2$が手渡された場合\\
誤った判断を下すのは取り出した３個の玉が(赤赤白)または(赤赤赤)のとき\\
$\text{U}_2$には$2n$個の赤玉と$3n$個の白玉が入っているので\\
(赤赤白)となるのは\\
$\dfrac{2n}{5n}\times \dfrac{2n-1}{5n-1} \times \dfrac{3n}{5n-2}$\\
(赤白赤)となるのは\\
$\dfrac{2n}{5n}\times \dfrac{3n}{5n-1} \times \dfrac{2n-1}{5n-2}$\\
(白赤赤)となるのは\\
$\dfrac{3n}{5n}\times \dfrac{2n}{5n-1} \times \dfrac{2n-1}{5n-2}$\\
したがってこの確率は\\
$\dfrac{18n^2(2n-1)}{5n(5n-1)(5n-2)}$\\
(赤赤赤)となるのは\\
$\dfrac{2n}{5n}\times \dfrac{2n-1}{5n-1} \times \dfrac{2n-2}{5n-2}$\\
$\dfrac{2n(2n-1)(2n-2)}{5n(5n-1)(5n-2)}$\\
\ \\
$\text{U}_1$が手渡される確率が$\dfrac{2}{3}$,$\text{U}_2$が手渡される確率が$\dfrac{1}{3}$なので\\
誤った判断を下す確率は
$\dfrac{2}{3}(\dfrac{12n^2(n-1)}{5n(5n-1)(5n-2)}+\dfrac{n(n-1)(n-2)}{5n(5n-1)(5n-2)})+
\dfrac{1}{3}(\dfrac{18n^2(2n-1)}{5n(5n-1)(5n-2)}+\dfrac{2n(2n-1)(2n-2)}{5n(5n-1)(5n-2)})$\\
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{\dfrac{2}{3}(\dfrac{12n^2(n-1)}{5n(5n-1)(5n-2)}+\dfrac{n(n-1)(n-2)}{5n(5n-1)(5n-2)})+
\dfrac{1}{3}(\dfrac{18n^2(2n-1)}{5n(5n-1)(5n-2)}+\dfrac{2n(2n-1)(2n-2)}{5n(5n-1)(5n-2)})}\\
&=&
\dfrac{2}{3\cdot 5n(5n-1)(5n-2)}(12n^2(n-1)+n(n-1)(n-2))+
\dfrac{1}{3\cdot 5n(5n-1)(5n-2)}(18n^2(2n-1)+2n(2n-1)(2n-2))\\
&=&
\dfrac{2(12n^2(n-1)+n(n-1)(n-2))+(18n^2(2n-1)+2n(2n-1)(2n-2))}{3\cdot 5n(5n-1)(5n-2)}\\
&=&
\dfrac{24n^3-24n^2+2n^3-6n^2+4n+36n^3-18n^2+8n^3-12n^2+4n}{3\cdot 5n(5n-1)(5n-2)}\\
&=&
\dfrac{70n^3-60n^2+8n}{3\cdot 5n(5n-1)(5n-2)}\\
&=&
\dfrac{70n^2-60n+8}{375n^2}\\
\end{eqnarray*}
$$p_n=\dfrac{70n^2-60n+8}{375n^2}$$
2.\\
$\dlim_{n\to\infty}p_n=\dlim_{n\to\infty}\dfrac{70n^2-60n+8}{3\cdot 5(5n-1)(5n-2)}=\dfrac{14}{75}$\\
以上より\\
$\dlim_{n\to\infty}p_n=\dfrac{14}{75}$\\
\end{document}
