%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1977年　入学試験　文系数学　問題1}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　2次方程式 $x^2+x-1=0$ の2つの根（解）$a$，$b$ を成分にもつ，平面上のベ
クトル $\boldsymbol{u}=(a,b)$ を考える．同じ平面上のベクトル % 
$\boldsymbol{v}=(c,d)$ で，$\boldsymbol{u}$ と直交し，長さが1であるもの
の成分 $c$，$d$ を2つの根にもつ2次方程式を求めよ．
\ \\
{\large 解答}\\
\\
$(a,b)$は$x^2+x-1=0$の根なので\\
$a+b=-1$\\
$ab=-1$\\
$\boldsymbol{u}=(a,b)$が直交するベクトルは$(b,-a)$または$(-b,a)$に平行\\
長さが単位ベクトルであるためには、\\
$(\pm\dfrac{b}{|\boldsymbol{u}|},\mp\dfrac{a}{|\boldsymbol{u}|})$\\
これを$\boldsymbol{v}=(c,d)$とすると、\\
$c=\pm \dfrac{b}{|\boldsymbol{u}|}$\\
$d=\mp \dfrac{a}{|\boldsymbol{u}|}$\\
複号同順\\
したがって\\
$c+d=\pm \dfrac{b}{|\boldsymbol{u}|}+\mp \dfrac{a}{|\boldsymbol{u}|}$\\
$cd=-\dfrac{b}{|\boldsymbol{u}|}\dfrac{a}{|\boldsymbol{u}|}$\\
$|\boldsymbol{u}|^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=1+2=3$より\\
$c+d=\pm\dfrac{b-a}{\sqrt{3}}$\\
$cd=-\dfrac{ab}{3}=\dfrac{1}{3}$\\
$(b-a)^2=a^2+b^2-2ab=3+2=5$\\
$b-a=\pm\sqrt{5}$\\
したがって$c+d=\pm\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$\\
以上より\\
$(c,d)$を解とする２次方程式は\\
$e(x-c)(x-d)=ex^2-(c+d)ex+ecd=0$なので\\
$ex^2-(c+d)ex+ecd=e(x^2 \pm\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}x+\dfrac{1}{3})=0$\\
両辺に$3$をかけて
$$e(3x^2+\sqrt{15}x+1)=0$$
$$e(3x^2-\sqrt{15}x+1)=0$$
$e\neq 0$\\
の二つ

\end{document}
