%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1977年　入学試験　文系数学　問題3}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　$n$ 個の自然数 $a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_n$ を，次の2条件(i)，(ii)を同
時にみたすように選ぶとき，選び方は何通りあるか．
\begin{enumerate}
 \item　どの $a_i$ も1，2，$\cdots$，$m$（$m>n$）の中から選ぶ．
 \item　$a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_n$ のうち，適当な $n-1$ 個を選べば，
      それらは互いに異なる．
\end{enumerate}
\ \\
{\large 解答}\\
\\
相異なる$n-1$個を選び出し、それに$1$個をに任意付け加えたものはこの条件を満たす。\\
最後に選び出した$a_n$が$a_k\;(k<n)$と一致した場合は$a_n$と$a_k$を入れ替えたものが重複するので\\
組み合わせは半分になる。\\
したがって組み合わせの総数は
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{{}_{n-1}\text{C}_m \times (n-1) \div 2 + {}_{n-1}\text{C}_m \times (m-n+1)}\\
&=&{}_{n-1}\text{C}_m ((n-1) \div 2 + (m-n+1))\\
&=&\dfrac{m(m-1)(m-2)\cdots(m-n)}{(n-1)!}\dfrac{n-1+2m-2n+2}{2}\\
&=&\dfrac{m(m-1)(m-2)\cdots(m-n)}{(n-1)!}\dfrac{2m-n+1}{2}\\
&=&\dfrac{(2m-n+1)m(m-1)(m-2)\cdots(m-n)}{2(n-1)!}\\
\end{eqnarray*}
選び方は
$$\dfrac{(2m-n+1)m(m-1)(m-2)\cdots(m-n)}{2(n-1)!}\text{通り}$$
\end{document}
