%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1977年　入学試験　文系数学　問題5}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　$p$ が素数であれば，どんな自然数 $n$ についても $n^p-n$ は $p$ で割り
切れる．このことを，$n$ についての数学的帰納法で証明せよ．\\
\ \\
{\large 解答}\\
\\
Fermatの定理\\
$n=1$のとき\\
$1^p-1=0$なので成立する。\\

$n=k$のとき成立すると仮定すると\\
$n=k+1$のとき\\
\begin{eqnarray*}
(k+1)^p-(k+1)&=&k^p+pk^{p-1}+\dfrac{p(p-1)}{2}k^{p-2}+\cdots+\dfrac{p!}{(p-1)!}+1-k-1\\
&=&k^p-k+pk^{p-1}+\dfrac{p(p-1)}{2}k^{p-2}+\cdots+\dfrac{p!}{(p-1)!}\\
\end{eqnarray*}

$pk^{p-1}$\\
$\dfrac{p(p-1)}{2}k^{p-2}$\\
$\dfrac{p(p-1)(p-2)}{6}k^{p-2}$\\
$\vdots$\\
$\dfrac{p!}{(p-1)!}$\\

などの$k^{p-1}$から$k$までの係数はすべて整数。\\
しかし、$p$は素数なので分母の因数である1から$(p-1)$の間には$p$と公約数を持つものは無い\\
したがって分子の$p$は約分されない。\\
よって各係数は$p$で割り切れる。\\
したがって$(k+1)^p-(k+1)=k^p-k+mp$(mは整数)と表せる。\\
$k^p-k$を考えると
前提より$k^p-k$は$p$で割り切れるので$k^p-k=lp$とすると\\
$(k+1)^p-(k+1)=lp+mp=(l+m)p$(m,lは整数)と表せる。\\
したがって$(k+1)^p-(k+1)$は$p$で割り切れる。\\
以上より\\
$n^p-n$は\\
$n=1$のとき$p$で割り切れる。\\
$n=k$のとき割り切れると仮定すると$n=k+1$の時割り切れる。\\
したがって数学的帰納法によりどんな自然数$n$についても割り切れる。\\
\end{document}

