%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1977年　入学試験　文系数学　問題6}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　$\text{AB}>\text{AC}$ であるような $\triangle$ABC において，辺BCの三等
分点M，Nをとる（$\text{BM}=\text{MN}=\text{NC}$）．このとき，
\begin{enumerate}
 \item　AMとANとの大小関係をしらべよ．
 \item　$\angle$BAMと$\angle$CANとの大小関係をしらべよ．
\end{enumerate}
\ \\
{\large 解答}\\
\\
BCにAから降ろした垂線の足をHとする。\\
$\text{AB}^2-\text{BH}^2=\text{AH}^2=\text{AC}^2-\text{CH}^2$なので\\
$\text{AB}^2-\text{AC}^2=\text{BH}^2-\text{CH}^2$となり\\
$\text{AB}>\text{AC}$より\\
$\text{BH}^2>\text{CH}^2$\\
$\text{BH}>0,\text{CH}>0$より\\
$\text{BH}>\text{CH}$\\
$\text{BM}=\text{MN}=\text{NC}=l$とすると\\
$\text{BH}-\text{CH}>0$\\
$\text{BH}+\text{CH}=3l$より

$\text{BH}-\text{CH}>0$\\
$\text{BH}-3l=-\text{CH}$より
$2\text{BH}-3l>0$\\
$\text{BH}>\dfrac{3}{2}l$\\
したがって\\
$\text{MH}=\text{BH}-\text{BM}>\dfrac{1}{2}l$\\
\ \\
$\text{BH}\leqq 2l$の場合は\\
$\text{NH}=\text{BN}-\text{BH}=2l-\text{BH}<\dfrac{1}{2}<\text{MH}$\\
$\text{BH}> 2l$の場合は\\
$\text{NH}=\text{BH}-\text{BN}=\text{BH}-2l<\text{BH}-l=\text{MH}$\\
以上より\\
$\text{NH}<\text{MH}$\\
$\text{AM}^2-\text{MH}^2=\text{AH}^2=\text{AN}^2-\text{NH}^2$なので\\
$\text{AM}^2-\text{AN}^2=\text{MH}^2-\text{NH}^2$\\
$\text{NH}<\text{MH}$より\\
$\text{MH}^2-\text{NH}^2>0$なので\\
$\text{AM}^2-\text{AN}^2>0$\\
$\text{AM}>0,\text{AN}>0$なので\\
$\text{AM}>\text{AN}$\\
2.\\
$\triangle$ABCのBCを底辺としてみると、$\triangle$BAM,$\triangle$MAN,$\triangle$NACは
底辺の長さと高さが一致するのでその面積は等しい\\
その面積を$S$とする。\\
$\angle$BAM=$\alpha$\\
$\angle$MAN=$\beta$\\
$\angle$NAC=$\gamma$\\
$\text{BM}=\text{MN}=\text{NC}=l$\\
AM$=m$,AN$=n$,AB$=b$,AC$=c$とおくと\\
$bm\sin \alpha=2S$\\
$mn\sin \beta=2S$\\
$nc\sin \gamma=2S$\\
となる。\\
$S$は０ではないので$b,c,m,n,$,$\sin\alpha,\sin \beta \sin \gamma$は０ではない。\\
\\
$bm\sin \alpha=nc\sin \gamma$より\\
$\dfrac{bm}{nc}=\dfrac{\sin \gamma}{\sin \alpha}$\\
$b>c$,$m>n$より\\
$bm>nc$\\
以上より\\
$\dfrac{\sin \gamma}{\sin \alpha}>1$\\
$\alpha,\gamma,\beta$は正で$\pi$より小さいので$\sin \alpha>0$\\
よって両辺に$\sin\alpha$をかけても不等号は成立して\\
$\sin \gamma>\sin \alpha$\\
\\
三角形がなりたつためには頂点Aの角度$\angle$Aは0や$\pi$であってはならないので\\
$0<\alpha+\beta+\gamma<\pi$\\
したがってすくなくとも\\
$0<\alpha+\gamma<\pi$\\
したがって$\alpha,\gamma$ともに$\dfrac{\pi}{2}$より大きくなることは無い\\
\ \\
$\gamma>\dfrac{\pi}{2}$のとき\\
$\alpha<\dfrac{\pi}{2}$より
$\gamma>\alpha$\\
\ \\
$\gamma<\dfrac{\pi}{2}$のとき\\
$\alpha>\dfrac{\pi}{2}$とすると\\
$\pi-\alpha<\dfrac{\pi}{2}$\\
$\sin\alpha=\sin(\pi-\alpha)$なので\\
$\sin x$の値は$0<x<\dfrac{\pi}{2}$の範囲で単調増加なので\\
$\sin\gamma>\sin(\pi-\alpha)$ならば
$\gamma > (\pi-\alpha)$\\
しかし\\
$\alpha+\gamma<\pi$なのでこれは成立しない\\
したがって$\alpha<\dfrac{\pi}{2}$\\
この範囲では$\sin x$は単調増加なので
$\sin \gamma > \sin \alpha$ならば\\
$\gamma > \alpha$\\
以上より
$$\angle\text{BAM}<\angle\text{CAN}$$
\end{document}

