%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1977年　入学試験　理系数学　問題2}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
正の数 $a$ に対し，関数 $f(x)=ax-(1+a^4)x^3$ を考える．この関数のグラ
フが $x$ 軸の正の部分と交わる点の $x$ 座標を $c$ とし，積分 
$S_a=\dint_0^c f(x)\,dx$ を考える．$a$ の値をいろいろ変えたとき，$S_a$ 
の値が最大になるような $a$ の値を求めよ．\\
\ \\
{\large 解答}\\
\\
$f(x)=x(a-(1+a^4)x^2)$を解くと\\
$x=\pm\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a^{4}+1}}$\\
$c$はこの正の方なので\\
$c=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a^{4}+1}}$\\
よって
$S_a=\dint_0^c f(x)\,dx=\dint_0^{\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a^{4}+1}}} f(x)\,dx$\\
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{\dint_0^{\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a^{4}+1}}} f(x)\,dx}\\
&=&\dint_0^{\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a^{4}+1}}} ax-(1+a^4)x^3\,dx\\
&=&\left[\dfrac{a}{2}x^2-\dfrac{(1+a^4)}{4}x^4\right]_0^{\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a^{4}+1}}}\\
&=&\dfrac{a}{2}(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a^{4}+1}})^2-\dfrac{(1+a^4)}{4}(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a^{4}+1}})^4\\
&=&\dfrac{a}{2}(\dfrac{a}{a^{4}+1})-\dfrac{(1+a^4)}{4}(\dfrac{a}{a^{4}+1})^2\\
&=&\dfrac{a^2}{2(a^{4}+1)}-\dfrac{a^2}{4(a^{4}+1)}\\
&=&\dfrac{a^2}{4(a^{4}+1)}
\end{eqnarray*}
$S_a=\dfrac{a^2}{4(a^{4}+1)}$\\
$\dfrac{d}{da} S_a = -\dfrac{(a-1)a(a+1)(a^{2}+1)}{2(a^4+1)^2}$\\
$\dfrac{d}{da} S_a=0$の実数解は,$a=-1,0,1$である。\\
したがって、$S_a$は$a>0$のでは範囲
$0<a<1$の範囲で単調増加\\
$a=1$で極大\\
$a>1$で単調減少\\
したがって、$S_a$は$a>0$の範囲では$a=1$で最大となる。\\
$S_a$を最大とする$a$は
$$a=1$$
\end{document}
\begin{document}
{\large 京都大学　1977年　入学試験　理系数学　問題2}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
正の数 $a$ に対し，関数 $f(x)=ax-(1+a^4)x^3$ を考える．この関数のグラ
フが $x$ 軸の正の部分と交わる点の $x$ 座標を $c$ とし，積分 
$S_a=\dint_0^c f(x)\,dx$ を考える．$a$ の値をいろいろ変えたとき，$S_a$ 
の値が最大になるような $a$ の値を求めよ．\\
\ \\
{\large 解答}\\
\\
$f(x)=x(a-(1+a^4)x^2)$を解くと\\
$x=\pm\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a^{4}+1}}$\\
$c$はこの正の方なので\\
$c=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a^{4}+1}}$\\
よって
$S_a=\dint_0^c f(x)\,dx=\dint_0^{\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a^{4}+1}}} f(x)\,dx$\\
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{\dint_0^{\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a^{4}+1}}} f(x)\,dx}\\
&=&\dint_0^{\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a^{4}+1}}} ax-(1+a^4)x^3\,dx\\
&=&\left[\dfrac{a}{2}x^2-\dfrac{(1+a^4)}{4}x^4\right]_0^{\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a^{4}+1}}}\\
&=&\dfrac{a}{2}(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a^{4}+1}})^2-\dfrac{(1+a^4)}{4}(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a^{4}+1}})^4\\
&=&\dfrac{a}{2}(\dfrac{a}{a^{4}+1})-\dfrac{(1+a^4)}{4}(\dfrac{a}{a^{4}+1})^2\\
&=&\dfrac{a^2}{2(a^{4}+1)}-\dfrac{a^2}{4(a^{4}+1)}\\
&=&\dfrac{a^2}{4(a^{4}+1)}
\end{eqnarray*}
$S_a=\dfrac{a^2}{4(a^{4}+1)}$\\
$\dfrac{d}{da} S_a = -\dfrac{(a-1)a(a+1)(a^{2}+1)}{2(a^4+1)^2}$\\
$\dfrac{d}{da} S_a=0$の実数解は,$a=-1,0,1$である。\\
したがって、$S_a$は$a>0$のでは範囲
$0<a<1$の範囲で単調増加\\
$a=1$で極大\\
$a>1$で単調減少\\
したがって、$S_a$は$a>0$の範囲では$a=1$で最大となる。\\
$S_a$を最大とする$a$は
$$a=1$$
\end{document}
