%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1977年　入学試験　理系数学　問題3}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　関数 $f(x)=\sin x$ に対し，関数 $f^{(n)}(x)$ を，
\[
 f^{(0)}(x)=f(x)\text{，}\quad f^{(n+1)}(x)=\frac{df^{(n)}(x)}{dx}
\]
により定める（$n=0$，1，2，$\cdots$）．任意の自然数 $n$ について，2つの関
数 $y=x f^{(n-1)}(x)$ および $y=f^{(n)}(x)$ のグラフを，それぞれ $C_1$，
$C_2$ とする．Pが $C_1$ と $C_2$ の交点であれば，Pにおける $C_1$，$C_2$ 
の接線 $t_1$，$t_2$ は互いに直交する．これを証明せよ．\\
\ \\
{\large 解答}\\
\\
$f^{(1)}=\cos x$\\
$f^{(2)}=-\sin x$\\
$f^{(3)}=-\cos x$\\
$f^{(4)}=\sin x=f^{(0)}(x)$\\
$n=4$において、$f^{(0)}(x)$に戻るので、これ以降は\\
$n=4k$のときは$f^{(n)}(x)=\sin x$\\
$n=4k+1$のときは$f^{(n)}(x)=\cos x$\\
$n=4k+2$のときは$f^{(n)}(x)=-\sin x$\\
$n=4k+3$のときは$f^{(n)}(x)=-\cos x$\\
となる。\\
つまり\\
$k-l=2$の時$f^{(k)}(x)=-f^{(l)}(x)$\\
また
$(f^{(n)}(x))^2+(f^{(n+1)}(x))^2=1$が成立する。\\
\ \\
$C_1$,$C_2$の交点は$x f^{(n-1)}(x)=f^{(n)}(x)$となる$x$\\
$a$をこのような値とすると\\
$g(x)=x f^{(n-1)}(x)$\\
$h(x)=f^{(n)}(x)$とすると\\
とすると\\
$g'(x)=f^{(n-1)}(x)+x \dfrac{d f^{(n-1)}(x)}{dx}=f^{(n-1)}(x)+xf^{(n)}(x)$\\
$h'(x)=\dfrac{d f^{(n)}(x)}{dx}=f^{(n+1)}(x)$\\
なので\\
$C_1$の$x=a$での接線の傾きは\\
$g'(a)=f^{(n-1)}(a)+af^{(n)}(a)$\\
$C_2$の$x=a$での接線の傾きは\\
$h'(a)=f^{(n+1)}(a)$\\
このとき$C_1$と平行なベクトルの一つ\\
$(1,g'(a))=(1,f^{(n-1)}(a)+af^{(n)}(a))$\\
をとると、これは長さは０ではない。\\
$C_2$と平行なベクトルの一つ\\
$(1,h'(a))=(1,f^{(n+1)}(a))$\\
をとると、これは長さは０ではない。\\
\\
これらの二つのベクトルの内積$b$を計算すると\\
$b=1+(f^{(n-1)}(a)+af^{(n)}(a))f^{(n+1)}(a)$\\
以上の条件からこれを計算すると\\
\begin{eqnarray*}
b&=&1+(f^{(n-1)}(a)+af^{(n)}(a))f^{(n+1)}(a)\\
&=&1-(f^{(n-1)}(a)+af^{(n)}(a))f^{(n-1)}(a)\\
&=&1-((f^{(n-1)}(a))^2+af^{(n)}(a)f^{(n-1)}(a))\\
&=&1-((f^{(n-1)}(a))^2+(f^{(n)}(a))^2)\\
&=&1-1\\
&=&0
\end{eqnarray*}
よって長さが０ではない二つのベクトルの内積が０になるので、このベクトルは直交する\\
したがって、$C_1,C_2$の交点におけるそれぞれの接線は直交する。
\end{document}

