%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1977年　入学試験　理系数学　問題4}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
\begin{enumerate}
 \item　サイコロを1回または2回ふり，最後に出た目の数を得点とするゲームを
      考える．1回ふって出た目を見た上で，2回目をふるか否かを決めるのであ
      るが，どのように決めるのが有利であるか．
 \item　上と同様のゲームで，3回ふることも許されるとしたら，2回目，3回目
      をふるか否かの決定はどのようにするのが有利か．
\end{enumerate}
\ \\
{\large 解答}\\
\\
１回サイコロをふって出る目の期待値は$\dfrac{7}{2}$\\
1.\\
最後に目出た目の数が得点となるので、
１回目で得た値より２回目を行うことによる期待値が大きい場合には２回目を行った方が有利\\
よって、１回目の値が３以下の場合に２回目を行った方が有利\\
したがって１回目の目が３以下なら２回目をふるのが有利\\
\ \\
2.\\
２回目をふってしまった後は、３回目をふるかどうかの判断は1.と同様となる。\\
1.の方法にしたがった場合の２回の試行による期待値は\\
$n\leqq 3$の場合$\dfrac{7}{2}$\\
$n\geqq 4$の場合$n$\\
よって２回目以降を行うことによる期待値は\\
$\dfrac{7}{2}\dfrac{1}{2}+\dfrac{4}{6}+\dfrac{5}{6}+\dfrac{6}{6}=\dfrac{17}{4}$\\
\\
よって１回目の目が４以下なら２回目以降を行った期待値の方が大きいので\\
１回目の目が４以下なら２回目以降を行う方が有利\\
\\
以上より\\
２回目、３回目をふるか否かの決定は\\
１回目の目が４以下の場合は２回目をふる\\
２回目の目が３以下の場合は３回目をふる\\
とするのが有利である。\\
\end{document}
