%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1977年　入学試験　理系数学　問題5}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
\begin{enumerate}
 \item　底辺の長さ $a$ が一定で，他の2辺の和 $m$ も一定（$m>a$）であるよ
      うな三角形のうち，面積最大のものは，二等辺三角形であることを示せ．
 \item　周囲の長さが一定な四辺形のうち，面積最大のものは正方形であること
      を示せ．
\end{enumerate}
\ \\
{\large 解答}\\
\\
1.\\
$s=\dfrac{m+a}{2}$
底辺と異なる２辺の長さをそれぞれ$b,c$とすると\\
ヘロンの公式より面積$S$の２乗$S^2$は
$S^2=s(s-a)(s-b)(s-c)$と表せる。\\
\begin{eqnarray*}
s(s-a)(s-b)(s-c)&=&\dfrac{m+a}{2}(\dfrac{m+a}{2}-a)(\dfrac{m+a}{2}-b)(\dfrac{m+a}{2}-c)\\
&=&\dfrac{m+a}{2}(\dfrac{m-a}{2})(\dfrac{m-b+a}{2})(\dfrac{b+a}{2})\\
&=&\dfrac{(m+a)(m-a)(m-b+a)(b+a)}{16}
\end{eqnarray*}
$m+a,m-a$は定数なので\\
$(m-b+a)(b+a)$が最大となるとき$S$は最大となる。\\
$(m-b+a)(b+a)=-b^2+bm+am+a^2$\\
より\\
$f(b)=-b^2+bm+am+a^2$とすると\\
$f(b)$は上に凸の２次式なので\\
$f'(b)=-2b+m$\\
より$b=\dfrac{m}{2}$のとき最大となる。\\
したがって$c=m-b=\dfrac{m}{2}$となり\\
面積が最大となるのは、$b=c$つまり二等辺三角形のとき\\
\\
2.\\
周の長さが一定の四辺形をABCDとする。\\
ABCDはこの順で隣り合っているとする。\\
このとき三角形ABCを考えAC、$\text{AB}+\text{BC}$を固定して変形する操作を行うと\\
1.よりこの三角形の面積はAB$=$BCとなったとき最大となる。\\
次に三角形CDAをに対しても同様の操作を行うとCD$=$DAとなったとき最大となる。\\
ここまでの操作でAB$=$BCかつCD$=$DAとなっているので\\
$\text{AB}+\text{DA}=\text{BC}+\text{CD}$\\
今度はBD、$\text{BC}+\text{CD}$を固定して同様の操作を行うとBC$=$CD\\
同様に,DA$=$ABとなり\\
$\text{AB}+\text{DA}=\text{BC}+\text{CD}$より$\text{AB}=\text{BC}=\text{CD}=\text{DA}$となる。\\
以上の操作で、四辺形は菱形となる。\\
菱形なので１辺の長さを$l$とすると面積は$l^2\sin \angle\text{BAD}$となる。\\
ここで周囲の長さを一定にしているので$l$は定数\\
よってこの面積を最大にするのは$\sin \angle\text{BAD}$が最大となるとき\\
つまり$\angle\text{BAD}=\dfrac{\pi}{2}$となるとき\\
このとき四辺形は正方形となる。\\
また正方形についてはどの向かい合う頂点をとっても既に二等辺三角形となっているのでこれ以上面積を大きくする操作はできない。\\
よって周囲の長さが一定な四辺形のうち，面積最大のものは正方形である\\

証明終了
\end{document}

