%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1977年　入学試験　理系数学　問題6}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　$a$ は正の定数であり，2つの関数 $f(x)$，$g(x)$ は次の4条件(i)〜(iv)を
みたしている\\
$\Bigl(\text{ここに} f'(x)=\dfrac{df(x)}{dx}\text{，}\quad
g'(x)=\dfrac{dg(x)}{dx}\Bigr)$．\\
　(i)　$f'(x)=-g(x)$\\
　(ii)　$g'(x)\geqq f(x)$（すべての $x$ の値について）\\
　(iii)　$g(0)=0$\\
　(iv)　$0\leqq x\leqq a$ ならば $f(x)>0$\\
　このとき，次の(1)，(2)を示せ．
\begin{enumerate}
 \item　$g(a)>0$
 \item　$a\leqq y\leqq a+\dfrac{f(a)}{g(a)}$，$f(y)=0$ となる実数 $y$ が
      ある．
\end{enumerate}
\ \\
{\large 解答}\\
\\
問題においてすべての$x$において$f(x),g(x)$の微分係数が定義されているので
$f(x),g(x)$は連続かつ微分可能としてよい。\\
1.\\
$0 \leqq x \leqq a$の範囲では、$f(x)>0$かつ$g'(x) \geqq f(x)$なので
$0 \leqq x \leqq a$の範囲では$g'(x)>0$\\
したがって$g(x)$は$0 \leqq x \leqq a$で単調増加\\
$x=0$において最小値をとり\\
$x=a$において最大値をとる。\\
$g(0)=0$なので$g(x)\geqq 0$\\
最大値$g(a)=0$と仮定すると
$g(x)$の値は最大値$0$最小値$0$となり、この範囲で$g(x)=0$となってしまう。\\
この場合$g'(x)=0$で$f(x)\leqq 0$となるがこれでは条件$f(x)>0$を満たさない\\
したがって$g(a) \neq 0$\\
よって$g(a)>0$\\
2.\\
$f(a)>0$、$g(a)>0$より$\dfrac{f(a)}{g(a)}>0$\\
よって$a\leqq y\leqq a+\dfrac{f(a)}{g(a)}$となる$y$は存在する。\\
次に$f(a+\dfrac{f(a)}{g(a)})$を考えると\\
$f(x)$は微分可能なので平均値の定理より\\
$\dfrac{f(a+\dfrac{f(a)}{g(a)})-f(a)}{a+\dfrac{f(a)}{g(a)}-a}=f'(z)$\\
かつ$a\leqq z\leqq a+\dfrac{f(a)}{g(a)}$となる$z$が存在する。\\
$f'(z)=-g(z)$より\\
$f(a+\dfrac{f(a)}{g(a)})-f(a)=-g(z)\dfrac{f(a)}{g(a)}$\\
$f(a+\dfrac{f(a)}{g(a)})=f(a)-g(z)\dfrac{f(a)}{g(a)}$\\
$f(a+\dfrac{f(a)}{g(a)})=(g(a)-g(z))\dfrac{f(a)}{g(a)}$\\
\ \\
$f(a+\dfrac{f(a)}{g(a)})>0$とすると\\
$g(a)-g(z)>0$\\
$g(z)-g(a)<0$より\\
$g(x)$は微分可能なので平均値の定理より\\
$\dfrac{g(z)-g(a)}{z-a}=g'(u)$となる$u$が区間$[a,z]$に存在する。\\
つまり$g'(u)<0$となる$u$が存在する。\\
$g'(u) \geqq f(u)$なので$f(u)<0$\\
したがって$f(x)$は連続なので中間値の定理より
$f(y)=0$となる$y$が区間$[a,u]$に存在する。\\
\\
また、$f(a+\dfrac{f(a)}{g(a)})<0$とすると\\
中間値の定理により\\
$f(y)=0$となる$y$が区間$[a,a+\dfrac{f(a)}{g(a)}]$に存在する。\\
また、$f(a+\dfrac{f(a)}{g(a)})=0$とすると\\
$y=a+\dfrac{f(a)}{g(a)}$とすると$f(y)=0$となる。\\
以上のいずれにしても$f(y)=0$かつ$a\leqq y \leqq a+\dfrac{f(a)}{g(a)}$となる$y$が存在する。\\
証明終了
\end{document}

