%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1978年　入学試験　文系数学　問題1}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　$a$，$b$，$c$ を正の数とするとき，不等式
\[
 2\Bigl(\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}\Bigr)\leqq 3\Bigl(\frac{a+b+c}{3}-\sqrt[3]{abc}\Bigr)
\]
を証明せよ．また，等号が成立するのはどんな場合か．
\ \\
{\large 解答}\\
\\
$(a+b+c)-3\sqrt[3]{abc}-(a+b)+2\sqrt{ab}=c-3\sqrt[3]{abc}+2\sqrt{ab}$\\
$t^3=c$となるような実数$t$を一つとる。\\
$f(t)=t^3-3t\sqrt[3]{ab}+2\sqrt{ab}$とすると\\
$f(0)=\sqrt{ab}>0$\\
$f'(t)=3t^2-3\sqrt[3]{ab}$\\
より$t^2=\sqrt[3]{ab}$のとき$f'(t)=0$となる\\
$\sqrt[3]{ab}>0$なので
$t=\pm\sqrt{\sqrt[3]{ab}}$\\
$t>0$より\\
$t=\sqrt{\sqrt[3]{ab}}$\\
のとき$f(t)$は極小となる。\\
したがって$t>0$の範囲では、$f(\sqrt{\sqrt[3]{ab}})$が最小値となる。\\
$t^2=\sqrt[3]{ab}$\\
$t^3=\sqrt{ab}$\\
より
\begin{eqnarray*}
f(\sqrt{\sqrt[3]{ab}})&=&t^3-3t\sqrt[3]{ab}+2\sqrt{ab}\\
&=&t^3-3t^3+2t^3=0\\
\end{eqnarray*}
よって$f(t)\geqq 0$\\
したがってこの不等式は成立する。\\
また、等号となるのは$f(t)=0$となるときなので\\
上記の通り$c=\sqrt{ab}$のとき\\
証明終了
\end{document}

