%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1978年　入学試験　文系数学　問題2}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　$\triangle$OABの重心Gを通る直線が，辺OA，OBとそれぞれ辺上の点P，Qで交
わっているとする．$\Vec{\text{OP}}=h\Vec{\text{OA}}$，
$\Vec{\text{OQ}}=k\Vec{\text{OB}}$ とし，$\triangle$OAB，$\triangle$OPQ
の面積をそれぞれ $S$，$T$ とすれば，次の関係が成り立つことを示せ．
\begin{enumerate}
 \item　$\dfrac{1}{h}+\dfrac{1}{k}=3$
 \item　$\dfrac{4}{9}S\leqq T\leqq\dfrac{1}{2}S$
\end{enumerate}
\ \\
{\large 解答}\\
\\
1.\\
Gは三角形OABの重心なので
$$\tvec{OG}=\dfrac{\tvec{OA}+\tvec{OB}}{3}$$
また、PQはGを通るので
$$\tvec{OG}=t(\tvec{OQ}-\tvec{OP})+\tvec{OP}\;\ (0\leqq t\leqq 1)$$
以上より\\
$\dfrac{\tvec{OA}+\tvec{OB}}{3}=t(\tvec{OQ}-\tvec{OP})+\tvec{OP}$\\
$\dfrac{\tvec{OA}+\tvec{OB}}{3}=tk\tvec{OB}+h(1-t)\tvec{OA}$\\
が成り立つ\\
OABが三角形となるためには、$\tvec{OA}$と$\tvec{OB}$は１次独立でなければならないので\\
この等式が成立するためには\\
$tk=\dfrac{1}{3}$\\
$(1-t)h=\dfrac{1}{3}$\\
でなければならない\\
$0\leqq k\leqq 1$,$0\leqq t \leqq 1$より\\
$tk=\dfrac{1}{3}$となるためには
$k\neq 0$ならば\\
$t=\dfrac{1}{3k}>\dfrac{1}{3}$\\
したがって$t \neq 0$なので\\
$k=\dfrac{1}{3t}>\dfrac{1}{3}$\\
となり$k=0$は不適当\\
また同様に\\
$h \neq 0$ならば\\
$(1-t)=\dfrac{1}{3h}>\dfrac{1}{3}$より\\
$t<\dfrac{2}{3}$\\
したがって$k>\dfrac{1}{2}$\\
同様に$h>\dfrac{1}{2}$\\
したがって$h,k,t$は\\
\begin{eqnarray*}
\dfrac{1}{2}\leqq &h& \leqq 1\\
\dfrac{1}{2}\leqq &k& \leqq 1\\
\dfrac{1}{3}\leqq &t& \leqq \dfrac{2}{3}
\end{eqnarray*}
の範囲\\
\ \\
以上より$t\neq 0$なので\\
$k=\dfrac{1}{3t}$\\
$h=\dfrac{1}{3(1-t)}$\\
よって\\
$$\dfrac{1}{h}+\dfrac{1}{k}=3t+3(1-t)=3$$
2.\\
三角形OPQの面積$T$は$\angle$AOB$=\theta$とすると\\
$T=|\tvec{OP}||\tvec{OQ}|\sin\theta=hk|\tvec{OA}||\tvec{OB}|\sin\theta=hkS$\\
$hk=\dfrac{1}{9t(1-t)}$
なので\\
$T=\dfrac{1}{9t(1-t)}S$である。\\
$f(t)=9t(1-t)\ (\dfrac{1}{3}<t<\dfrac{2}{3})$とすると
$f'(t)=-18t+9$
したがって\\
$\dfrac{1}{3}<t<\dfrac{1}{2}$の範囲では$f'(t)>0$\\
$\dfrac{1}{2}<t<\dfrac{2}{3}$の範囲では$f'(t)<0$\\
となり\\
$f(t)$は$t=\dfrac{1}{2}$で最大値をとり$t=\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3}$の小さい方で最小値をとる。\\
$f(\dfrac{1}{3})=f(\dfrac{2}{3})=2$\\
$f(\dfrac{1}{2})=\dfrac{9}{4}$\\
したがって
$$\dfrac{4}{9}S \leqq hkS=T < \dfrac{1}{2}S$$
証明終了
\end{document}

