%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
\documentclass[a4j,10pt,fleqn]{jsarticle}
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1978年　入学試験　文系数学　問題4}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　角 $\theta$ の回転を表わす行列を $R(\theta)$ とする．すなわち 
$R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta
\end{pmatrix}$ とする．2次正方行列 $X$ で，$X^3=R(\theta)$ をみたすもの
はどれだけあるかを考えたい．
\begin{enumerate}
 \item　行列 $X$ が，$X^3=R(\theta)$ をみたせば，$X$ は逆行列をもち，か
      つ $R(\theta)X=XR(\theta)$ が成立することを示せ． 
 \item　行列 $X$ が，ある角 $\alpha$ の回転を表わす行列 $R(\alpha)$ と，
      左上が正，左下が0であるような行列 $T$ との積であるとする．すなわち 
      $X=R(\alpha)T$，ただし $T=\begin{pmatrix}a & b\\0 & c
      \end{pmatrix}$，$a>0$ とする．\\　このとき，もし $X$ が 
      $R(\theta)X=XR(\theta)$ をみたし，さらに $\theta$ が $\pi$ の整数
      倍でなければ，$a=c$，$b=0$ であることを示せ．
 \item　一般に，逆行列をもつ任意の行列 $X$ は，ある角 $\alpha$ の回転を
      表わす行列 $R(\alpha)$ と，左上が正，左下が0であるような行列 $T$ 
      との積 $X=R(\alpha)T$ として表わされる．行列に対応する1次変換を考
      えることによって，このことを示せ．
 \item　$X^3=R(\theta)$ をみたす行列 $X$ は，$\theta$ が $\pi$ の整数倍
      でなければ，ちょうど3個存在し，$\theta$ が $\pi$ の整数倍ならば，無
      限に多く存在することを示せ．
\end{enumerate}
\ \\
{\large 解答}\\
\\
1.\\
$X$が$X^3=R(\theta)$を満たすので\\
$X$は零行列ではない\\
両辺に左から$X$をかけて$XX^3=XR(\theta)$\\
また右から$X$をかけて$X^3X=R(\theta)X$\\
がともに成立する。\\
$XX^3=X^3X=X^4$なので\\
$R(\theta)X=XR(\theta)$\\
\ \\
$R(\theta)$には逆行列が存在するのでそれを$R^{-1}(\theta)$とすると\\
定義より$R^{-1}(\theta)=R(-\theta)$\\
$XR(\theta)=R(\theta)X$に\\
左右から$R(-\theta)$をかけると\\
$R(-\theta)XR(\theta)R(-\theta)=R(-\theta)R(\theta)XR(-\theta)$\\
$R(-\theta)X=XR(-\theta)$\\
\ \\
$X^3=R(\theta)$に右から$R(-\theta)$をかけて\\
$X^3R(-\theta)=E$\\
$R(-\theta)X=XR(-\theta)$より\\
$X^2R(-\theta)X=E$\\
つまり$X^2R(-\theta)$は$X$の左逆行列となっている。\\
同様に左から$R(-\theta)$をかけて\\
$R(-\theta)X^3=E$\\
$XR(-\theta)X^2=E$\\
となり\\
$R(-\theta)X^2=XR(-\theta)X=X^2R(-\theta)$は右逆行列になる。\\
よって$X$の逆行列は存在する。\\
2.\\
$X=R(\alpha)T$
$T=
\begin{pmatrix}
a&b\\
0&c
\end{pmatrix}
\ (a>0)
$\\
であるとする。\\
\\
$X$が$R(\theta)X=XR(\theta)$ をみたすならば\\
$R(\theta)R(\alpha)T=R(\alpha)TR(\theta)$\\
左から$R(-\theta)$をかけて\\
$R(-\theta)R(\theta)R(\alpha)T=R(-\theta)R(\alpha)TR(\theta)$\\
$R(\alpha)T=R(-\theta)R(\alpha)TR(\theta)$\\
左から$R(-\alpha)$をかけて\\
$T=R(-\alpha)R(-\theta)R(\alpha)TR(\theta)$\\
$R(\theta)R(\alpha)$は回転行列の定義から\\
$R(\theta)R(\alpha)=R(\theta+\alpha)$なので\\
$T=R(-\alpha-\theta+\alpha)TR(\theta)$\\
$T=R(-\theta)TR(\theta)$\\
左から$R(\theta)$をかけて\\
$TR(\theta)=R(\theta)T$\\
\ \\
要素に展開すると\\
\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix}
a&b\\
0&c
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos\theta&-\sin\theta\\
\sin\theta&\cos\theta
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos\theta&-\sin\theta\\
\sin\theta&\cos\theta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a&b\\
0&c
\end{pmatrix}
\\
\begin{pmatrix}
a\cos\theta+b\sin\theta & -a\sin\theta+b\cos\theta\\
c\sin\theta & c\cos\theta
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a\cos\theta& b\cos\theta-c\sin\theta\\
a\sin\theta& b\sin\theta+c\cos\theta
\end{pmatrix}
\\
\end{eqnarray*}
したがって
\begin{eqnarray*}
a\cos\theta+b\sin\theta&=&a\cos\theta\\
-a\sin\theta+b\cos\theta&=&b\cos\theta-c\sin\theta\\
c\sin\theta&=&a\sin\theta\\
c\cos\theta&=&b\sin\theta+c\cos\theta
\end{eqnarray*}
が成立する。\\
$a\cos\theta+b\sin\theta=a\cos\theta$
より\\
$b\sin\theta=0$\\
しかし$\theta \neq n\pi$なので$\sin\theta \neq 0$\\
よって$b=0$\\
$c\sin\theta=a\sin\theta$より
$\theta \neq n\pi$なので$\sin\theta \neq 0$\\
$c=a$\\
\ \\
3.\\
$X$が逆行列を持つとしてそれを$X^{-1}$と表す。\\
行列$X$に対応する１次変換を考える。\\
$X=
\begin{pmatrix}
s&t\\
u&v
\end{pmatrix}
$とする\\
逆行列が存在するので
$sv-ut \neq 0$\\
したがって$s,u$ともに０とはならないので$s^2+u^2 > 0$\\
このとき\\
点$(x,y)$を考えると$(x,y)=x(1,0)+y(0,1)$なので\\
１次変換においては線形性が保証されるので$(1,0),(0,1)$についての変換だけを考えればよい。\\
$X(1,0)=(s,u)=\dfrac{1}{s^2+u^2}(\cos\alpha,\sin\alpha)$\\
$X(0,1)=(t,v)$\\
と表すことができる。\\
したがって\\
$X=
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{\sqrt{s^2+u^2}}\cos\alpha & s\\
\dfrac{1}{\sqrt{s^2+u^2}}\sin\alpha & t
\end{pmatrix}
$
と表すことができる。\\
$l=\dfrac{1}{\sqrt{s^2+u^2}}$\\
$m=t\cos\alpha+v\sin\alpha$\\
$n=v\cos\alpha-t\sin\alpha$\\
とおくと
$t=m\cos\alpha-n\sin\alpha$\\
$v=m\sin\alpha+n\cos\alpha$\\
なので\\
\begin{eqnarray*}
X&=&
\begin{pmatrix}
l\cos\alpha & m\cos\alpha-n\sin\alpha\\
l\sin\alpha & m\sin\alpha+n\cos\alpha
\end{pmatrix}
\\
&=&
\begin{pmatrix}
\cos\alpha & -\sin\alpha\\
\sin\alpha & \cos\alpha
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
l & m\\
0 & n
\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
定義より$l>0$\\
よって$X=R(\alpha)T$と表せる。\\
4.\\
$X^3=R(\theta)$をみたす行列$X$が存在するとすれば1.より逆行列が存在し3.によって
$X=R(\alpha)T$と表すことができる。\\
1.より$XR(\theta)=R(\theta)X$なので\\
2.より$X=R(\alpha)T$とすると$\theta \neq n\pi$ならば\\
$T=
\begin{pmatrix}
l & 0
0 & l
\end{pmatrix}
=
l
\begin{pmatrix}
1 & 0
0 & 1
\end{pmatrix}
=lE
$
\\
となる。\\
よって\\
$X^3=R(\alpha)TR(\alpha)TR(\alpha)T$なので\\
$X^3=l^3R(3\alpha)$\\
よって$R(\theta)=l^3R(3\alpha)$\\
したがって\\
\begin{eqnarray*}
\cos\theta&=&l^3\cos 3\alpha\\
\sin\theta&=&l^3\sin 3\alpha\\
\end{eqnarray*}
右辺を変形して\\
\begin{eqnarray*}
\cos 3\alpha&=&4\cos^3\alpha-3\cos\alpha\\
\sin 3\alpha&=&3\sin\alpha-4\sin^3\alpha
\end{eqnarray*}
より\\
\begin{eqnarray*}
\cos\theta &=& l^3(4\cos^3\alpha-3\cos\alpha)\\
\sin\theta &=& l^3(3\sin\alpha-4\sin^3\alpha)
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\cos^2\theta &=& (l^3(4\cos^2\alpha-3)\cos\alpha)^2\\
\sin^2\theta &=& (l^3(3-4\sin^2\alpha)\sin\alpha)^2
\end{eqnarray*}
\begin{equation*}
\cos^2\theta+\sin^2\theta =(l^3(4\cos^2\alpha-3)\cos\alpha)^2+(l^3(3-4\sin^2\alpha)\sin\alpha)^2
\end{equation*}
$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$なので
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{(l^3(4\cos^2\alpha-3)\cos\alpha)^2+(l^3(3-4\sin^2\alpha)\sin\alpha)^2}\\
&=&l^6\cos^2\alpha(16\cos^4\alpha-24\cos^2\alpha+9)+l^6\sin^2\alpha(16\sin^4\alpha -24\sin^2\alpha+9)\\
&=&l^6(16\cos^6\alpha-24\cos^4\alpha+9\cos^2\alpha+16\sin^6\alpha -24\sin^4\alpha+9\sin^2\alpha)\\
&=&l^6(16\cos^6\alpha+16\sin^6\alpha-24\cos^4\alpha-24\sin^4\alpha+9)\\
&=&l^6(16(1-\sin^2\alpha)^3+16\sin^6\alpha-24(1-\sin^2\alpha)^2-24\sin^4\alpha+9)\\
&=&l^6(16-48\sin^2\alpha+48\sin^4\alpha-16\sin^6\alpha+16\sin^6\alpha-24+\\
& &48\sin^2\alpha-24\sin^4\alpha-24\sin^4\alpha+9)\\
&=&l^6=1
\end{eqnarray*}
よって$l^6=1$\\
$l$は実数なので$l=\pm 1$\\
しかし$l>0$なので$l=1$\\
\\
以上より\\
$R(\theta)=R(3\alpha)$\\
したがって\\
$\cos\theta=\cos 3\alpha$\\
$\sin\theta=\sin 3\alpha$\\
したがって\\
$\theta=3\alpha+2n\pi$
$\alpha=\dfrac{\theta-2n\pi}{3}$\\
以上より\\
$\alpha=\dfrac{\theta-2n\pi}{3}$\\
整数$n$は$k,l$は整数で$n=3k+l\ (0 \leqq l \leqq 2)$と表せるので\\
$\alpha=\dfrac{\theta-2(3k+l)\pi}{ 3}$\\
$\alpha=\dfrac{\theta-2l\pi}{3}-2k\pi$\\
となり\\
角として考える場合$2k\pi$は無視してよい\\
したがって$X$は
$$\alpha=\dfrac{\theta}{3},\dfrac{\theta}{3}+\dfrac{2\pi}{3},\dfrac{\theta}{3}+\dfrac{4\pi}{3}$$
の三つ\\
\ \\
$\theta = n\pi$
ならば\\
$R(\theta)=
\begin{pmatrix}
\cos n\pi & -\sin n\pi\\
\sin n\pi & \cos n\pi
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
(-1)^n & 0\\
0 & (-1)^n
\end{pmatrix}
$
なので\\
$X^3=\pm E$\\
\ \\
$X^3=E$のとき\\
$X^2=X^{-1}$\\
$X^2=
\begin{pmatrix}
a&b\\
c&d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a&b\\
c&d
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a^2+bc & ab+bd\\
ac+cd & bc+d^2
\end{pmatrix}
=
\dfrac{1}{ad-bc}
\begin{pmatrix}
d&-b\\
-c&a
\end{pmatrix}
$
よって\\
\begin{eqnarray*}
a^2+bc&=&\dfrac{d}{ad-bc}\\
ab+bd&=&\dfrac{-b}{ad-bc}\\
ac+cd&=&\dfrac{-c}{ad-bc}\\
bc+d^2&=&\dfrac{a}{ad-bc}\\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
b(a+d)(ad-bc)=-b\\
c(a+d)(ad-bc)=-c\\
(a^2+bc)(ad-bc)=d\\
(bc+d^2)(ad-bc)=a
\end{eqnarray*}
\\
$b=0,c=0$とすると\\
$ad-bc \neq 0$より$ad \neq 0$なので\\
$(a^2)(ad)=d$\\
$a^3=1$\\
同様に$d^3=1$\\
となり$X=E$\\
\\
$b \neq 0$,$c=0$ならば\\
$(a+d)ad=-1$\\
$a^3d=d$\\
$a^3=1$となり$a=1$\\
したがって$(d+1)d=d^2+d+1=0$となるがこれは実数解を持たないので$b=0$\\
つまり$c=0$ならば$b=0$\\
$b \neq 0,c\neq0$ならば\\
\begin{eqnarray*}
(a+d)(ad-bc)=-1\\
(a^2+bc)(ad-bc)=d\\
(bc+d^2)(ad-bc)=a
\end{eqnarray*}
$4bc+3<0$の範囲で\\
$a=\dfrac{-1\pm \sqrt{-4bc-3}}{2}$\\
$d=\dfrac{-1\mp \sqrt{-4bc-3}}{2}$\\
複号同順\\
となり,$X$は無限に存在する。\\
\ \\
$X^3=-E$の場合も同様に\\
$X=-E$または\\
$4bc+3<0$の範囲で\\
$a=\dfrac{-1\pm \sqrt{-4bc-3}}{2}$\\
$d=\dfrac{-1\mp \sqrt{-4bc-3}}{2}$\\
複号同順\\
となりの$X$は無限に存在する。\\
証明終了
\end{document}
