%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1978年　入学試験　文系数学　問題5}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　$f(x)$ は実数を係数とする $x$ の多項式とする．
\begin{enumerate}
 \item　すべての整数 $k$ について，$f(k)$ が整数であるための必要十分条件
      は，$f(0)$ が整数であって，すべての整数 $k$ について，
      $f(k)-f(k-1)$ が整数となることである．これを証明せよ．
 \item　$f(x)=ax^2+bx+c$ のとき，すべての整数 $k$ について，$f(k)$ が整
      数となるために，係数 $a$，$b$，$c$ がみたすべき必要十分条件を求め
      よ．
\end{enumerate}
\ \\
{\large 解答}\\
1.\\
$f(0)$が整数である。\\
$f(k-1)$が整数であれば$f(k)=f(k-1)+n$($n$は整数)なので$f(k)$は整数。\\
よって数学的帰納法よりすべての整数$k$について$f(k)$は整数である。\\
また、逆にすべての$k$について$f(k)$が整数であれば、$f(k)-f(k-1)$は整数であるのは自明\\
よって必要十分である。\\
2.\\
$f(x)=ax^2+bx+c$のとき
$f(k)-f(k-1)=ak^2+bk+c-(a(k-1)^2+b(k-1)+c)=a(2k-1)+b$
この式が任意の$k$に付いて整数である必要があるので\\
$k=1$の時\\
$a+b=n$が整数\\
$a(2k-1)+b=m$が整数\\
$b=n-a$を代入すると\\
$2ak=m-n$\\
$2ak$が任意の$k$について整数であるためには$a=\dfrac{1}{2}l$($l$は整数)が必要\\
このとき$b=n-a$より$b=n-\dfrac{1}{2}l$より\\
$a(2k-1)+b=\dfrac{1}{2}l(2k-1)+n-\dfrac{1}{2}l=lk+n$\\
となり任意の整数$k$において整数となる。\\
$f(0)$は整数でなければならないので$c$は整数であることが必要。\\
以上より\\任意の整数$l,m,n$について\\
$$a=\dfrac{l}{2},b=n-\dfrac{l}{2},c=m$$
が必要。\\
またこのとき\\
$f(k)=\dfrac{l}{2}k^2+n-{l}{2}k+m=\dfrac{k(k-1)}{2}l+n+m$となり\\
任意の$k$において$k$または$k-1$のどちらかは偶数なので$k(k-1)$は２で割り切れて\\
$\dfrac{k(k-1)}{2}$は整数\\
よって$f(k)$は整数の積と和のみで構成されるので整数。\\
よって必要十分。\\
\\
証明終了
\end{document}

