%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1978年　入学試験　文系数学　問題6}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　数0または1を $n$ 個並べて得られる数列\\
　　　　$A=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}$　$a_i=0$ または 1\\
を考える．これに対して，新しい数列\\
　　　　$A'=\{a'_1,a'_2,\cdots,a'_n\}$　$a'_i=0$ または 1\\
を次のように定める：\\
　$n$ 角形の頂点に，$a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_n$ をこの順に並べたとき，
\\
　　$a_i$ の両隣が等しければ（すなわち $a_{i-1}=a_{i+1}$ ならば），
$a'_i=0$\\
　　$a_i$ の両隣が異なれば（すなわち $a_{i-1}\neq a_{i+1}$ ならば），
$a'_i=1$\\
と定める（$i=1$，2，$\cdots$，$n$，ただし $a_0=a_n$，$a_{n+1}=a_1$ とみ
なす）．\\
　このとき，$n\geqq 3$ として，$A=A'$（すなわち $a_i=a'_i$，$i=1$，2，
$\cdots$，$n$）となるような数列 $A$ をすべて求めよ．
\ \\
{\large 解答}\\
\\
この数列$A$は直前二つの数が決まると後が全部決まるので$a_1,a_2$が決まるとすべてきまる。\\
また$a_n+1=a_1$なので
つまり\\
$a_1=0,a_2=0$とすると\\
$a_2=0$なので$a_3 = a_1$より$a_3=0$\\
同様に\\
$a_k=0,a_{k+1}=0$ならば$a_{k+2}=0$\\
よって数学的帰納法により$a_i=0$\\
つまり$A=\{0,0,0,\cdots,0\}(n \geqq 3$個)($n$は整数)\\
$a_1=0,a_2=1$とすると\\
$a_2=1$なので$a_3=1$\\
$a_3=1$なので$a_4=0$\\
$a_4=0$なので$a_5=1$\\
$a_5=1$なので$a_6=1$\\
$k=3l$のとき1\\
$k=3l+1$のとき0\\
$k=3l+2$のとき1\\
であれば
$a_{3l}=1$なので$a_{3l+1}\neq a_{3l-1}$なので$a_{3l+1}=0$\\
$a_{3l+1}=0$なので$a_{3l}= a_{3l+2}$なので$a_{3l+2}=1$\\
$a_{3l+2}=1$なので$a_{3l+1}\neq a_{3l+3}$なので$a_{3l+3}=1$\\
となり任意の$l$において成立する。\\
このとき$a_1=a_{n+1}$より$n+1=3l+1$の場合成立するから\\
$A=\{0,1,1,0,1,1,0,1,1,\cdots,0,1,1\}\;(n=3l \geqq 3$個)($l$は整数)\\
\ \\
$a_1=1,a_2=0$の時\\
$a_2=0$より$a_3=1$\\
$a_3=1$より$a_4=1$\\
$a_4=1$より$a_5=0$\\
$a_5=0$より$a_6=1$\\
$a_6=1$より$a_5=1$\\
$k=3l$のとき1\\
$k=3l+1$のとき1\\
$k=3l+2$のとき0\\
であれば
$a_{3l}=1$なので$a_{3l+1}\neq a_{3l-1}$なので$a_{3l+1}=1$\\
$a_{3l+1}=1$なので$a_{3l}\neq a_{3l+2}$なので$a_{3l+2}=0$\\
$a_{3l+2}=0$なので$a_{3l+1}= a_{3l+3}$なので$a_{3l+3}=1$\\
となり任意の$l$において成立する。\\
このとき$a_1=a_{n+1}$より$n+1=3l+1$の場合成立するから\\
$A=\{1,0,1,1,0,1,1,0,1,\cdots,1,0,1\}\;(n=3l \geqq 3$個)($l$は整数)\\
\\
$a_1=1,a_2=1$のとき\\
同様に
$a_{3l}=0$なので$a_{3l+1}= a_{3l-1}$なので$a_{3l+1}=1$\\
$a_{3l+1}=1$なので$a_{3l}\neq a_{3l+2}$なので$a_{3l+2}=1$\\
$a_{3l+2}=1$なので$a_{3l+1}= a_{3l+3}$なので$a_{3l+3}=0$\\
となり任意の$l$において成立する。\\
このとき$a_1=a_{n+1}$より$n+1=3l+1$の場合成立するから\\
$A=\{1,1,0,1,1,0,1,1,0,\cdots,1,1,0\}\;(n=3l \geqq 3$個)($l$は整数)\\
\\
以上の４種類に限る。\\
証明終了
\end{document}

