%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\begin{document}
{\large 京都大学　1978年　入学試験　理系数学　問題3}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　放物線 $y=4-x^2$ と直線 $y=3x$ との2交点をA，Bとする．点Pは放物線の弧
の上をAからBまで動くものとし，$\triangle$PAB の面積が最大となるときの P 
の座標を $(p,q)$ とする．
\begin{enumerate}
 \item　$p$ を求めよ．
 \item　線分ABに平行な直線が放物線と2点C，Dで交わるとき，線分CDは直線 
      $x=p$ によって二等分されることを示せ．
 \item　放物線と線分ABによって囲まれる図形は，直線 $x=p$ によって，互い
      に面積の等しい二つの部分に分けられることを示せ．
\end{enumerate}
\ \\
{\large 解答}\\
\\
曲線$y=4-3x-x^2$を$C$とする。\\
これは$y=4-x^2$と$y=3x$の$y$の差分をとったものとなる。\\
$x=p$の時の$y=3x$上の点$(p,3p)$をQとする。\\
$x=p$の時の$y=0$上の点$(p,0)$を$\text{Q}'$とする。\\
また$x=p$の時の$y=4-3x-x^2$上の点を$\text{P}'$\\
Aの$x$座標を$x_a$とすると$C$上の$x_a$の時の$y$の値は0、この点を$\text{A}'$\\
同様にBの$x$座標を$x_b$とすると$x_b$の時の$C$上の$y$の値も0、この点を$\text{B}'$\\
とする。\\
このとき三角形APQと三角形$\text{A}'\text{P}'\text{Q}'$を考えると\\
この三角形は底辺をPQと考えたとき$\overline{\text{PQ}}=(4-p^2)-(3p)=4-3p-p^2=\overline{\text{P}'\text{Q}'}$となり\\
また高さは$p-x_a$となり等しいので面積は等しい\\
同様に三角形BPQと三角形$\text{B}'\text{P}'\text{Q}'$の面積も等しい。\\
したがって三角形APBと三角形$\text{A}'\text{P}'\text{B}'$の面積は等しい\\
よって三角形APBの面積が最大となるときは三角形$\text{A}'\text{P}'\text{B}'$の面積が最大となるとき\\
1.\\
三角形$\text{A}'\text{P}'\text{B}'$の面積は$\text{P}'$の高さと$x_b-x_a$をかけたものに比例する。\\
$x_b-x_a$は一定なので$\text{P}'$の高さが最大のときに最大となる。\\
$\text{P}'$の高さは$4-3p-p^2$なので\\
$f(x)=4-3p-p^2$とすると\\
$f(x)$は上に凸な二次式なので\\
$f'(x)=-2p-3$より\\
$x=-\dfrac{3}{2}$のとき最大となる。
したがって
$$p=-\dfrac{3}{2}$$
2.\\
線分ABと平行な直線と放物線の交点CDは上と同様の変換を行うことによって
$x$軸に平行な線分と$C$の交点とおなじ$x$座標を持つ。\\
また$x$軸に平行な線分なので$y$座標は等しい。\\
その$y$座標を$y_1$とし\\
その$x$座標を$x_1$,$x_2$とすると\\
$y_1=4-3x_1-{x_1}^2=4-3x_2-{x_2}^2$\\
$0=4-3x_2-{x_2}^2-4+3x_1+{x_1}^2=3(x_1-x_2)-{x_1}^2-{x_2}^2=(x_1-x_2)(3-x_1-x_2)$\\
$x_1 \ne x_2$が前提なので\\
$x_1+x_2=3$\\
$\dfrac{x_1+x_2}{2}=\dfrac{3}{2}=p$\\
よって$x_1$と$x_2$の中点は$p$である。\\
したがって$x_1-p=p-x_2$\\
このときCは$(x_1,3x_1)$、Dは$(x_2,3x_2)$,$y=3x$と$x=p$の交点は$(p,3p)$なので\\
$(p,3p)$とCの距離は$\sqrt{(x_1-p)^2+(3(x_1-p))^2}$\\
$(p,3p)$とDの距離は$\sqrt{(x_2-p)^2+(3(x_2-p))^2}$\\
$x_1-p=p-x_2$より\\
$(x_2-p)^2=(x_1-p)^2$\\
となり二つの距離は等しい\\
したがって、$x=p$の直線で２等分される。\\
3.\\
$y=4-x^2$と$y=3x$で囲まれる部分の面積を$x_a<x<p$の部分を$S_a$、$p<x<x_b$の部分を$S_b$とすると\\
$S_a=\dint_{x_a}^{p}4-x^2\;dx-\dint_{x_a}^{x_b}3x\;dx=\dint_{x_a}^{p}4-3x-x^2\;dx$
$S_b=\dint_{p}^{x_b}4-x^2\;dx-\dint_{x_a}^{x_b}3x\;dx=\dint_{p}^{x_b}4-3x-x^2\;dx$
つまりそれぞれの区間で曲線$C$と$x$軸が囲む部分の面積に等しい\\
曲線Cは$x=p$を対称軸とした２次式なので$x=p$の左右の形は全く等しい\\
したがって$p$からの距離がおなじ範囲で囲む面積は等しい。\\
上より$|x_a-p|=|x_b-p|$なのでこの部分の面積は等しい。\\
よって放物線と線分ABによって囲まれる図形は，直線 $x=p$ によって，互いに面積の等しい二つの部分に分けられる。\\
証明終了
\end{document}
