%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
\documentclass[a4j,10pt,fleqn]{jsarticle}
\mathindent=4zw
\parindent=0zw
\topmargin=0zw
\headheight=0zw
\headsep=0zw
\oddsidemargin=0zw
\evensidemargin=0zw
\setlength{\textheight}{0.9\paperheight}
\addtolength{\textheight}{-\topskip}
\addtolength{\textheight}{-\headsep}
\addtolength{\textheight}{-\footskip}
\addtolength{\textheight}{-\topskip}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx}
\pagestyle{plain}

\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
\def\dvec#1{\overrightarrow{#1}}
\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1978年　入学試験　理系数学　問題5}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　$m$，$n$ は整数とし，$f(x)=x^3+mx^2+nx+2$ とする．
\begin{enumerate}
 \item　方程式 $f(x)=0$ が三つの整数解（重解があってもよい）をもつような $m$，$n$ の組をすべて求めよ．
 \item　方程式 $f(x)=0$ が少なくとも一つの整数解をもつために，$m$，$n$ 
      がみたすべき必要十分条件を求めよ．
 \item　$|m|\leqq 5$，$|n|\leqq 5$ の範囲で，(2)の条件をみたす $m$，$n$ 
      の組はいく通りあるか．
\end{enumerate}
\ \\
{\large 解答}\\
\\
1.\\
$f(x)$が三つの整数解をもつということはその解を$a,b,c$としたとき\\
$x^3$の係数が１なので\\
$a,b,c$が整数で\\
$f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)$と因数分解される場合である。\\
このとき$a\leqq b \leqq c$としても一般性を失わない。\\
$(x-a)(x-b)(x-c)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc$\\
これが$f(x)=x^3+mx^2+nx+2$と恒等的に一致するので\\
\begin{eqnarray*}
a+b+c=-m\\
ab+bc+ca=n\\
-abc=2\\
\end{eqnarray*}
となる必要がある。\\
まず$-abc=2$の場合を考える。\\
$2$は素数なので$1,2$にしか因数分解されない\\
したがって積が$-2$になるためには\\
$a,b,c$の積の絶対値が2となる組み合わせは\\
\begin{eqnarray*}
\begin{array}
{ccc}
a&b&c\\
2&1&1\\
1&2&1\\
1&1&2
\end{array}
\end{eqnarray*}
またこのそれぞれについて3または1個の負の数が必要なので\\
\begin{eqnarray*}
\begin{array}
{ccccccccccc}
-a&b&c& &a&-b&c& &a&b&-c\\
-2&1&1& &2&-1&1& &2&1&-1\\
-1&2&1& &1&-2&1& &1&2&-1\\
-1&1&2& &1&-1&2& &1&1&-2
\end{array}
\begin{array}
{ccc}
-a&-b&-c\\
-2&-1&-1\\
-1&-2&-1\\
-1&-1&-2
\end{array}
\end{eqnarray*}
$a\leqq b\leqq c$の条件をいれると
$(a,b,c)=(-2,-1,-1),(-2,1,1),(-1,1,2)$となる。\\
$(a,b,c)=(-2,-1,-1)$の場合\\
\begin{eqnarray*}
-(a+b+c)=4=m\\
ab+bc+ca=5=n\\
\end{eqnarray*}
$(a,b,c)=(-2,1,1)$の場合\\
\begin{eqnarray*}
-(a+b+c)=0=m\\
ab+bc+ca=-3=n\\
\end{eqnarray*}
$(a,b,c)=(-1,1,2)$の場合\\
\begin{eqnarray*}
-(a+b+c)=-2=m\\
ab+bc+ca=-1=n\\
\end{eqnarray*}
したがって$m,n$の組み合わせは\\
$$(m,n)=(4,5),(0,-3),(-2,-1)$$
の３通り\\
2.\\
1.と同様に因数分解したとき\\
$f(x)=(x-a)(x^2+sx+t)$と分解される。\\
$a$は整数。\\
これが$(x-a)(x^2+sx+t)=x^3+(s-a)x^2+(t-sa)x-at=x^3+mx^2+nx+2$に一致するので\\
\begin{eqnarray*}
s-a=m\\
t-sa=n\\
-at=2
\end{eqnarray*}
$s,m$は整数なので和は整数\\
よって$s=m+a$より$s$は整数\\
$t=n+as$より$t$は整数\\
よって$-at=2$より\\
$(a,t)$は$(-2,1),(-1,2),(1,-2),(2,-1)$の組み合わせしかあり得ない。\\
$(a,t)=(-2,1)$のとき\\
$n=1+2s$\\
$m=s+2$\\
$(a,t)=(-1,2)$のとき\\
$n=2+s$\\
$m=s+1$\\
$(a,t)=(1,-2)$のとき\\
$n=-2-s$\\
$m=s-1$\\
$(a,t)=(2,-1)$のとき\\
$n=-1-2s$\\
$m=s-2$\\
任意の整数$s$について\\
$$(m,n)=(s+2,1+2s),(s+1,2+s),(s-1,-2-s),(s-2,-1-2s)$$
と表される。\\
また、このとき\\
$(m,n)=(s+2,1+2s)$のとき\\
$f(x)=x^3+(s+2)x^2+(1+2s)x+2=(x+2)(x^2+sx+1)$\\
$(m,n)=(s+1,2+s)$のとき\\
$f(x)=x^3+(s+1)x^2+(2+s)x+2=(x+1)(x^2+sx+2)$\\
$(m,n)=(s-1,-2-s)$のとき\\
$f(x)=x^3+(s-1)x^2+(-2-s)x+2=(x-1)(x^2+sx-2)$\\
$(m,n)=(s-2,-1-2s)$のとき\\
$f(x)=x^3+(s-2)x^2+(-1-s)x+2=(x-2)(x^2+sx-1)$\\
と因数分解されるのですくなくとも一つ整数解を持つ\\
よって$x^3+mx^2+nx+2=0$が一つでも整数解を持つための必要十分条件は\\
$$(m,n)=(s+2,1+2s),(s+1,2+s),(s-1,-2-s),(s-2,-1-2s)$$
\\
3.\\
2より$(m,n)=(s+2,1+2s),(s+1,2+s),(s-1,-2-s),(s-2,-1-2s)$\\
を順にケース１、２、３、４とする。\\
$s=m-2,m-1,m+1,m+2$
そのとき\\
$n=2m-1,m+1,-3-m,-2m-5$\\
となり\\
それぞれのケースで$n-m=m-1,1,-3-2m,-3m-5$となり
他のケースと$m,n$の組が一致する可能性を考えると\\
ケース１、２では$m=2$のとき一致し\\
$s$はケース１について$0$,ケース２について$1$\\
ケース１、３では\\
$3m=-2$となる整数はないので一致しない。\\
ケース１、４では\\
$m=-1$のとき一致し\\
$s$はケース１について$-3$,ケース４で$1$\\
ケース２、３では\\
$m=-1$のとき一致し\\
$s$はケース２については$-2$,ケース３では$0$\\
ケース２、４では\\
$m=-2$のとき一致し\\
$s$はケース２については$-3$,ケース４では$0$\\
ケース３、４では\\
$m=-2$のとき一致し\\
$s$はケース３については$-1$,ケース４では$0$\\
以上の５通りの場合は結果が一致する。\\
\ \\
$|m|\leqq 5,|n|\leqq 5$より\\
$(m,n)=(s+2,1+2s)$のとき\\
$|s+2|\leqq 5,|1+2s|\leqq 5$
より\\
$-5\leqq s+2  \leqq 5\ \to \ -7\leqq s \leqq 3$\\
$-5\leqq 1+2s \leqq 5\ \to \ -6\leqq 2s \leqq 4 \ \to \ -3\leqq s \leqq 2$\\
よって\\
$-3\leqq s \leqq 2$\\
よって$m,n$の組は$s=-3,-2,-1,0,-,1,2$の6種類\\
$(m,n)=(s+1,2+s)$のとき\\
$|s+1|\leqq 5,|2+s|\leqq 5$
より\\
$-5\leqq s+1  \leqq 5\ \to \ -6\leqq s \leqq 4$\\
$-5\leqq 2+s \leqq 5\ \to \ -7\leqq s \leqq 3 $\\
よって\\
$-6\leqq s \leqq 3$\\
よって$m,n$の組は$s=-6,-5,\cdots,2,3$の10種類\\
$(m,n)=(s-1,-2-s)$のとき\\
$|s-1|\leqq 5,|-2-s|\leqq 5$
より\\
$-5\leqq s-1  \leqq 5\ \to \ -4\leqq s \leqq 6$\\
$-5\leqq -2-s \leqq 5\ \to \ -3\leqq -s \leqq 7 \ \to \ -7\leqq s \leqq 3 $\\
よって\\
$-4\leqq s \leqq 3$\\
よって$m,n$の組は$s=-4,-3,\cdots,2,3$の8種類\\
$(m,n)=(s-2,-1-2s)$のとき\\
$|s-2|\leqq 5,|-1-2s|\leqq 5$
より\\
$-5\leqq s-2  \leqq 5\ \to \ -3\leqq s \leqq 7$\\
$-5\leqq -1-2s \leqq 5\ \to \ -4\leqq -2s \leqq 6 \ \to \ -3\leqq s \leqq 2 $\\
よって\\
$-3\leqq s \leqq 2$\\
よって$m,n$の組は$s=-3,-3,\cdots,2,2$の6種類\\
以上より\\
30通りある。\\
しかし最初に重複の可能性を確認したときその条件はすべて$|m|\leqq 5,|n|\leqq 5$を満たしているので\\
その他のケースの合計から引かねばならない。\\
よって
$m,n$の組み合わせは\\
$$25\text{通り}$$
証明終了
\end{document}
