%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
\documentclass[a4j,10pt,fleqn]{jsarticle}
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1978年　入学試験　理系数学　問題6}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
\begin{enumerate}
 \item　$m$，$n$ は自然数とする．三角関数の加法定理を用いて，等式
\[
 \sin mx \sin nx=\frac{1}{2}\{\cos (m-n)x-\cos (m+n)x\}
\]
が成り立つことを示し，さらに次の積分 $I_{m,n}$ を求めよ．
\[
 I_{m,n}=\int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \sin nx\,dx
\]
 \item　整数 $k$（$0\leqq k\leqq 5$），自然数 $m$，$n$ および実数 $a$，
      $b$ に対して，
\begin{gather*}
 f(k)=\int_{-\pi}^{\pi}(\sin kx-a \sin mx-b \sin nx)^2\,dx\text{，}\\
 p(k)=\frac{5!}{k!(5-k)!}\Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^5\text{，}\\
 E=\sum_{k=0}^5 p(k)f(k)
\end{gather*}
とおくとき，$E$ を最小にするような $m$，$n$，$a$，$b$ を求めよ．
\end{enumerate}
\ \\
{\large 解答}\\
\\
$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$
より\\
$\cos(m-n)x=\cos mx \cos nx+\sin mx \sin nx$\\
$\cos(m+n)x=\cos mx \cos nx-\sin mx \sin nx$\\
２式の差をとると\\
$\cos(m-n)x-\cos(m+n)x=2\sin mx \sin nx$\\
よって
$$\sin mx \sin nx=\dfrac{1}{2}\{\cos(m-n)x-\cos(m+n)x\}$$
\ \\
$m \neq n$の場合\\
\begin{eqnarray*}
 I_{m,n}&=&\dint_{-\pi}^{\pi} \sin mx \sin nx\,dx\\
&=&\dint_{-\pi}^{\pi} \dfrac{1}{2}\{\cos(m-n)x-\cos(m+n)x\}\,dx\\
&=&\dfrac{1}{2}\{\dint_{-\pi}^{\pi} \cos(m-n)x\,dx-\dint_{-\pi}^{\pi} \cos(m+n)x\}\,dx\\
&=&\dfrac{1}{2}\{\left[\dfrac{1}{m-n}\sin(m-n)x\right]_{-\pi}^{\pi}
-\left[\dfrac{1}{m+n}\sin(m+n)x\right]_{-\pi}^{\pi}\}\\
&=&0
\end{eqnarray*}
$m=n$の場合\\
\begin{eqnarray*}
 I_{m,m}&=&\dint_{-\pi}^{\pi} \sin mx \sin mx\,dx\\
&=&\dint_{-\pi}^{\pi} \dfrac{1}{2}\{\cos(m-m)x-\cos2mx\}\,dx\\
&=&\dfrac{1}{2}\{\dint_{-\pi}^{\pi} 1\,dx-\dint_{-\pi}^{\pi} \cos2mx\}\,dx\\
&=&\dfrac{1}{2}\{\left[x\right]_{-\pi}^{\pi}
-\left[\dfrac{1}{2m}\sin2mx\right]_{-\pi}^{\pi}\}\\
&=&\dfrac{1}{2}(2\pi)\\
&=&\pi
\end{eqnarray*}
\ \\
2.\\
\begin{eqnarray*}
f(k)&=&\int_{-\pi}^{\pi}(\sin kx-a \sin mx-b \sin nx)^2\,dx\\
&=&\int_{-\pi}^{\pi}\{b^2\sin ^2nx+2ab\sin mx \sin nx-2b\sin kx\sin n x\\
& &+a^2\sin ^2mx-2a\sin kx \sin mx+\sin ^{2 }kx\}\,dx\\
\end{eqnarray*}
1.より
\begin{eqnarray*}
f(k)&=&b^2\pi+a^2\pi
+2abI_{m,n}
-2bI_{k,n}
-2aI_{k,m}
+I_{k,k}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
p(k)f(k)&=&\left\{\frac{5!}{k!(5-k)!}\Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^5\right\}\{
(b^2+a^2)\pi
+2abI_{m,n}
-2bI_{k,n}
-2aI_{k,m}
+I_{k,k}
\}
\end{eqnarray*}
$p(k)=\frac{5!}{k!(5-k)!}\Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^5$より\\
$p(0)=(\dfrac{1}{2})^5$\\
$p(1)=5(\dfrac{1}{2})^5$\\
$p(2)=10(\dfrac{1}{2})^5$\\
$p(3)=10(\dfrac{1}{2})^5$\\
$p(4)=5(\dfrac{1}{2})^5$\\
$p(5)=(\dfrac{1}{2})^5$\\
\begin{eqnarray*}
f(0)&=&
(b^2+a^2)\pi
+2abI_{m,n}
-2b\int_{-\pi}^{\pi}\sin 0x\sin n x\,dx\\& &
-2a\int_{-\pi}^{\pi}\sin 0x \sin mx\,dx
+\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2 0x\,dx\\
&=&
(b^2+a^2)\pi+2abI_{m,n}\\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
f(1)&=&(b^2+a^2)\pi+2abI_{m,n}-2bI_{1,n}-2aI_{1,m}+\pi\\
f(2)&=&(b^2+a^2)\pi+2abI_{m,n}-2bI_{2,n}-2aI_{2,m}+\pi\\
f(3)&=&(b^2+a^2)\pi+2abI_{m,n}-2bI_{3,n}-2aI_{3,m}+\pi\\
f(4)&=&(b^2+a^2)\pi+2abI_{m,n}-2bI_{4,n}-2aI_{4,m}+\pi\\
f(5)&=&(b^2+a^2)\pi+2abI_{m,n}-2bI_{5,n}-2aI_{5,m}+\pi\\
\end{eqnarray*}
$F=2^5E$とする。\\
\begin{eqnarray*}
F&=&f(0)+5f(1)+10f(2)+10f(3)+5f(4)+f(5)\\
&=&(b^2+a^2)\pi+2abI_{m,n}\\
& &+5((b^2+a^2)\pi+2abI_{m,n}-2bI_{1,n}-2aI_{1,m}+\pi)\\
& &+10((b^2+a^2)\pi+2abI_{m,n}-2bI_{2,n}-2aI_{2,m}+\pi)\\
& &+10((b^2+a^2)\pi+2abI_{m,n}-2bI_{3,n}-2aI_{3,m}+\pi)\\
& &+5((b^2+a^2)\pi+2abI_{m,n}-2bI_{4,n}-2aI_{4,m}+\pi)\\
& &+(b^2+a^2)\pi+2abI_{m,n}-2bI_{5,n}-2aI_{5,m}+\pi\\
&=&32\pi(b^2+a^2)+31\pi\\
& &+64abI_{m,n}\\
& &-2a(5I_{1,m}+10I_{2,m}+10I_{3,m}+5I_{4,m}+I_{5,m})\\
& &-2b(5I_{1,n}+10I_{2,n}+10I_{3,n}+5I_{4,n}+I_{5,n})
\end{eqnarray*}
$a\leqq 0,b\leqq0$とすると\\
$I_{m,n}$の値は$k,m,n$の値に関係無く正または０だから\\
$a,b$の１次の項がすべて正または0となるので$m,n$の値にかかわり無く\\
最小値は$(32(b^2+a^2)+31)\pi$となる。\\
この値を最小とする$a,b$の組は$a=b=0$\\
そのときの最小値は$F=31\pi$\\
\ \\
$a,b$は対称なので$a>b$としてもよい\\
したがって$a,b$どちらか１方が正であるためには$a>0$\\
$a \geqq 0$と$m$を固定すると\\
$g(a)=32\pi a^2-2a(5I_{1,m}+10I_{2,m}+10I_{3,m}+5I_{4,m}+I_{5,m})+31\pi$は定数となり\\
$F=32\pi(b^2)+64abI_{m,n}-2b(5I_{1,n}+10I_{2,n}+10I_{3,n}+5I_{4,n}+I_{5,n})+g(a)$
$b \leqq 0$の場合\\
$64abI_{m,n}<0$\\
$-2b>0$より\\
$m=n$かつ$n>5$のとき最小となる。\\
そのときの値は
$32\pi(b^2+ab)+g(a)$なので\\
$b=-a/2$のとき最小となる\\
したがってそのときの値は\\
$F=32\pi((-a/2)^2+a^2)+31\pi-32a^2\pi=8a^2\pi+31\pi$となり、$a=0$のとき最小値$31\pi$をとる。\\
\ \\
$b>0$の場合\\
$64abI_{m,n}>0$\\
$-2b<0$より\\
$m \neq n$,$n=2,3$のとき最小となる。\\
$a,b$を入れ換えて考えたときも同様となるので\\
つまり$m=2,n=3$のとき最小となる。\\
したがって
\begin{eqnarray*}
F&=&32\pi(b^2+a^2)+31\pi-2a(10\pi)-2b(10\pi)\\
&=&(32(b^2+a^2)+31-20a-20b)\pi\\
&=&(32a^2-20a+32b^2-20b+31)\pi
\end{eqnarray*}
$32a^2-20a$が最小となる$a$は$a=5/8$\\
$32b^2-20b$が最小となる$b$は$b=5/8$\\
よって$a=b=5/8$のとき最小となって\\
$F=31\pi$\\
以上より\\
$E$を最小とする$a,b,m,n$の組合せは
\begin{eqnarray*}
a=b=0&,&m=n>5\\
a=b=\dfrac{5}{8}&,&m=2,n=3\\
a=b=\dfrac{5}{8}&,&m=3,n=2
\end{eqnarray*}
\end{document}
