%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1979年　入学試験　文系数学　問題1}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　平面上に6つの定点 $\text{A}_1$，$\text{A}_2$，
$\text{A}_3$，$\text{A}_4$，$\text{A}_5$，$\text{A}_6$ があって，どの3点
も一直線上にはない．この6点のうちから3点を任意にえ
      らぶ．えらんだ3点を頂点とする三角形の重心と，残りの3点を頂点とする
      三角形の重心とを通る直線は，3点のえらびかたに無関係な一定の点を通
      ることを示せ．\\
\ \\
{\large 解答}\\
\\
始めに選んだ点を$\text{B}_1$，$\text{B}_2$，$\text{B}_3$とし\\
のこりの点を$\text{B}_4$，$\text{B}_5$，$\text{B}_6$とする。\\
また最初の３点の重心を$G_1$、残りの３点の重心を$G_2$とする。\\
\\
適当な点Oを選んでOから各点$\text{B}_k$へのベクトルを$b_k$とする。\\
重心へのベクトルを$g_1,g_2$とする。\\
すると、$g_1=\dfrac{b_1+b_2+b_3}{3}$\\
$g_2\dfrac{b_4+b_5+b_6}{3}$となる。\\
$g_1+g_2=\dfrac{b_1+b_2+b_3+b_4+b_5+b_6}{3}$\\
$G_1$と$G_2$の中点を$G$とし、Oからのベクトル$g$は$\dfrac{g_1+g_2}{2}$なので\\
$g=\dfrac{b_1+b_2+b_3+b_4+b_5+b_6}{6}$\\
これは始めに$b_1,b_2,b_3$をどのように選んでも一定\\
したがって、３点の選び方に無関係な点$G$を通る。\\
証明終了
\end{document}

