%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
\def\dvec#1{\overrightarrow{#1}}
\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1979年　入学試験　文系数学　問題3}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　下記の表のように，次の規則によって数列を順に並べる．
\begin{description}
 \item[]（ア） 第1行は1，1，1，1である． 
 \item[]（イ） 第2行以下では，左右両端の数は１であり，その他の数は左上
	    の数と右上の数との和である． 
\end{description}
　第 $n$ 行の数列を ${}_nA_{0}$，${}_nA_{1}$，$\cdots$，${}_nA_{k}$，
$\cdots$，${}_nA_{n+2}$ とかけば
\[
 (1+x^2)(1+x)^n=\sum_{k=0}^{n+2}{}_nA_{k}x^k
\]
が成り立つこと示せ．
\begin{equation*}
\begin{array}
{c}
1\  1\  1\  1\\
1\  2\  2\  2\  1\\
1\  3\  4\  4\  3\  1\\
1\  4\  7\  8\  7\  4\  1
\end{array}
\end{equation*}
\ \\
{\large 解答}\\
${}_nA_0=1$である。\\
${}_nA_k={}_{n-1}A_{k-1}+{}_{n-1}A_{k}$\\
したがって\\
$S_n=\sum_{k=0}^{n+2}{}_nA_{k}x^k$とおく\\
\begin{eqnarray*}
S_n&=&{}_nA_0+{}_nA_1x+{}_nA_2x^2+{}_nA_3x^3+\cdots+{}_nA_nx^n+{}_nA_{n+1}x^{n+1}+{}_nA_{n+2}x^{n+2}\\
&=&1+{}_{n-1}A_0x+{}_{n-1}A_1x\\
& &+{}_{n-1}A_1x^2+{}_{n-1}A_2x^2\\
& &+{}_{n-1}A_2x^3+{}_{n-1}A_3x^3\\
& &+\cdots\\
& &+{}_{n-1}A_{n-1}x^n+{}_{n-1}A_nx^n\\
& &+{}_{n-1}A_{n}x^{n+1}+{}_{n-1}A_{n+1}x^{n+1}\\
& &+{}_{n-1}A_{n+1}x^{n+2}+{}_{n-1}A_{n+2}x^{n+2}\\
&=&   1+{}_{n-1}A_1x+{}_{n-1}A_2x^2+{}_{n-1}A_3x^3+\cdots        +{}_{n-1}A_nx^n+x^{n+1}\\
& &+x(1+{}_{n-1}A_1x+{}_{n-1}A_2x^2+\cdots+{}_{n-1}A_{n-1}x^{n-1}+{}_{n-1}A_nx^n+x^{n+1})\\
&=&S_{n-1}+xS_{n-1}\\
&=&(x+1)S_{n-1}
\end{eqnarray*}
以上より\\
$S_n=(x+1)S_{n-1}$\\
以上より$S_n$は公比$(1+x)$の等比数列であるから\\
$S_n=S_1(x+1)^{n-1}$\\
$S_1=1+x+x^2+x^3=(x^2+1)(x+1)$より\\
$S_n=(x^2+1)(x+1)^n$\\
\ \\
\\
証明終了
\end{document}

