%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1979年　入学試験　文系数学　問題5}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　$\dfrac{2^n}{n}>n$ をみたす自然数 $n$ の範囲を求めよ．
\ \\
{\large 解答}\\
\\
$n$は自然数なので$n>0$としてよい\\
よって$2^n-n^2>0$を満たす$n$の範囲としてもよい。\\
$f(x)=2^x-x^2$とすると$x\geqq 1$の範囲で連続かつ微分可能な関数である。\\
$f'(x)=\log 2\;2^x-2x$\\
$f''(x)=\log^2 2\;2^x-2$\\
$n=1,2,3,4,5$について計算してみると\\
$f(1)=1$\\
$f(2)=0$\\
$f(3)=-1$\\
$f(4)=0$\\
$f(5)=7$\\
ここで$f''(x)$を考えると\\
$f''(4)=\log^2 2\;16-2=$\\
$\log 2=0.69...$なので\\
$\log^2 2=0.480...$\\
したがって$f''(4)=5.68...>0$\\
$2^x$は単調増加なので$f''(x)$は$x>4$において正\\
したがって$f'(x)$は$x>4$において単調増加\\
$f'(4)=3.09...>0$より\\
$f'(x)$は$x>4$において正\\
したがって$f(x)$は$x>4$において単調増加\\
よって$x\geqq 5$において$f(x)\geqq f(5)>0$\\
以上より\\
$$n=1\text{または}n>4$$

証明終了
\end{document}

