%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1979年　入学試験　理系数学　問題2}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　$f(x)=1+2\cos x+3\sin x$ とする．すべての $x$ に対して 
$af(x)+bf(x-c)=1$ が成り立つように，定数 $a$，$b$，$c$ を定めよ．\\
\ \\
{\large 解答}\\
\\
$g(x)=a(1+2\cos x+3\sin x)+b(1+2\cos (x-c)+3\sin (x-c))=1$がすべての$x$について成り立つ。\\
したがって\\
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{a(1+2\cos x+3\sin x)+b(1+2\cos (x-c)+3\sin (x-c))}\\
&=&a+2a\cos x+3a\sin x+b+2b\cos (x-c)+3b\sin (x-c)\\
&=&a+b+2a\cos x+3a\sin x+2b(\cos x \cos c + \sin x \sin c)+3b(\sin x \cos c - \cos x \sin c)\\
&=&a+b+(2a+2b\cos c -3b\sin c)\cos x+(3a+2b\sin c+3b\cos c )\sin x\\
&=&1
\end{eqnarray*}

これが任意の$x$について成り立つためには\\
少なくとも$x=0,\pi/2,-\pi,-\pi/2$の時成り立つ必要がある。\\
それぞれを計算すると\\
$g(0)     =  3a+b-3b\sin c+2b\cos c =1$\\
$g(\pi/2) =  4a+b+2b\sin c+3b\cos c =1$\\
$g(\pi)   =  -a+b+3b\sin c-2b\cos c =1$\\
$g(-\pi/2)= -2a+b-2b\sin c-3b\cos c =1$\\

$4g(0)-3g(\pi/2)  =b(1-\cos c-18\sin c)=1$\\
$2g(\pi)-g(-\pi/2)=b(1-\cos c+ 8\sin c)=1$\\
これらを同時に満たすには$\sin c=0$\\
$\sin^2 c+\cos^2 c=1$より$\cos c = \pm 1$\\
この条件で再度計算しなおすと
\begin{eqnarray*}
g(0)     &=&  3a+b+2b\cos c = 3a+b(1 +2\cos c)= 3a+b(1 \pm 2)=1\\
g(\pi/2) &=&  4a+b+3b\cos c = 4a+b(1 +3\cos c)= 4a+b(1 \pm 3)=1\\
g(\pi)   &=&  -a+b-2b\cos c = -a+b(1 -2\cos c)= -a+b(1 \mp 2)=1\\
g(-\pi/2)&=& -2a+b-3b\cos c =-2a+b(1 -3\cos c)=-2a+b(1 \mp 3)=1
\end{eqnarray*}
$\cos c =1$のとき
\begin{eqnarray*}
3a+3b&=&1\\
4a+4b&=&1\\
-a-b&=&1\\
-2a-2b&=&1
\end{eqnarray*}
が同時に成り立つ必要があるが\\
$3a+3b=4a+4b$より\\
$a+b=0$\\
しかし
$-a-b=1$より$a+b=-1$となり成立しない。\\
\ \\
$\cos c =-1$のとき
\begin{eqnarray*}
3a-b&=&1\\
4a-2b&=&1\\
-a+3b&=&1\\
-2a+4b&=&1
\end{eqnarray*}
となり\\
$a=\dfrac{1}{2},b=\dfrac{1}{2}$で成立する。\\
以上より\\
$a,b,c$はすくなくとも$\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},(2n+1)\pi$である。\\
逆に$a,b,c$がこの値だとすると\\
\begin{eqnarray*}
g(x)&=&\dfrac{1}{2}(1+2\cos x+3\sin x)+\dfrac{1}{2}(1+2\cos (x-(2n+1)\pi)+3\sin (x-(2n+1)\pi))\\
&=&\dfrac{1}{2}(1+2\cos x+3\sin x+1+2\cos (x-\pi)+3\sin (x-\pi))\\
&=&\dfrac{1}{2}(1+2\cos x+3\sin x+1-2\cos x-3\sin x)\\
&=&\dfrac{1}{2}(1+1)=1
\end{eqnarray*}
以上より
$$(a,b,c)=(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},(2n+1)\pi)\;(n\text{は整数})$$
証明終了
\end{document}
