%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
\documentclass[a4j,10pt,fleqn]{jsarticle}
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
\def\dvec#1{\overrightarrow{#1}}
\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1979年　入学試験　理系数学　問題4}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
 　2人の人が1つのサイコロを1回ずつふり，大きい目を出した方を勝ちとするこ
とにした．ただし，このサイコロは必ずしも正しいものではなく，$k$ の目ので
る確率は $p_k$ である（$k=1$，2，3，4，5，6）．このとき
\begin{enumerate}
 \item　引き分けになる確率 $P$ を求めよ．
 \item　$P\geqq\dfrac{1}{6}$ であることを示せ．また，$P=\dfrac{1}{6}$ な
      らば，$p_k=\dfrac{1}{6}$ である（$k=1$，2，3，4，5，6）ことを示せ．
\end{enumerate}
\ \\
{\large 解答}\\
\\
1.\\
二人の人がおなじ目を出した時に引き分けとなる。\\
したがってAさんが出した目を$l\;(l=1,2,3,4,5,6)$とするとBさんが$l$を出すときの確率が求める確率となる。\\
Aさんが$l$を出す確率は$p_l$そのとき、Bさんが$l$を出す確率も$p_l$なので\\
確率は$\dsum_{k=1}^6 {p_k}^2$\\
となる。\\
$$P=\dsum_{k=1}^6 {p_k}^2$$
2.\\
$p_1+p_2+p_3+p_4+p_5+p_6=1$なので\\
\begin{eqnarray*}
P&=&{p_1}^2+{p_2}^2+{p_3}^2+{p_4}^2+{p_5}^2+{p_6}^2\\
&=&(p_1+p_2+p_3+p_4+p_5+p_6)\\
& &-2(p_1p_2+p_1p_3+p_1p_4+p_1p_5+p_1p_6+p_2p_3+p_2p_4+p_2p_5+p_2p_6\\
& &+p_3p_4+p_3p_5+p_3p_6+p_4p_5+p_4p_6+p_5p_6)
\end{eqnarray*}
相加平均$\geqq$相乗平均より\\
$p_kp_l\leqq(\dfrac{p_k+p_l}{2})^2$\\
よって\\
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{p_1p_2+p_1p_3+p_1p_4+p_1p_5+p_1p_6+p_2p_3+p_2p_4+p_2p_5+p_2p_6+p_3p_4+p_3p_5+p_3p_6+p_4p_5+p_4p_6+p_5p_6}\\
&\leqq&\dfrac{1}{4}(
 (p_1+p_2)^2
+(p_1+p_3)^2
+(p_1+p_4)^2
+(p_1+p_5)^2
+(p_1+p_6)^2\\& &
+(p_2+p_3)^2
+(p_2+p_4)^2
+(p_2+p_5)^2
+(p_2+p_6)^2\\& &
+(p_3+p_4)^2
+(p_3+p_5)^2
+(p_3+p_6)^2\\& &
+(p_4+p_5)^2
+(p_4+p_6)^2
+(p_5+p_6)^2)\\
&=&\dfrac{1}{4}(
 p_1^2+p_2^2+2p_1p_2
+p_1^2+p_3^2+2p_1p_3
+p_1^2+p_4^2+2p_1p_4
+p_1^2+p_5^2+2p_1p_5
+p_1^2+p_6^2+2p_1p_6\\& &
+p_2^2+p_3^2+2p_2p_3
+p_2^2+p_4^2+2p_2p_4
+p_2^2+p_5^2+2p_2p_5
+p_2^2+p_6^2+2p_2p_6\\& &
+p_3^2+p_4^2+2p_3p_4
+p_3^2+p_5^2+2p_3p_5
+p_3^2+p_6^2+2p_3p_6\\& &
+p_4^2+p_5^2+2p_4p_5
+p_4^2+p_6^2+2p_4p_6
+p_5^2+p_6^2+2p_5p_6)\\
&=&\dfrac{1}{4}( 5(p_1^2+p_2^2+p_3^2+p_4^2+p_5^2+p_6^2)\\
& &+2(p_1p_6+p_1p_5+p_1p_4+p_1p_3+p_1p_2+p_2p_3+p_2p_4+p_2p_5+p_2p_6\\
& &+p_3p_4+p_3p_5+p_3p_6+p_4p_5+p_4p_6+p_5p_6)
)\\
\end{eqnarray*}
より
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{2(p_1p_2+p_1p_3+p_1p_4+p_1p_5+p_1p_6+p_2p_3+p_2p_4+p_2p_5+p_2p_6+p_3p_4+p_3p_5+p_3p_6+p_4p_5+p_4p_6+p_5p_6)}\\
&\leqq &5(p_1^2+p_2^2+p_3^2+p_4^2+p_5^2+p_6^2)\\
\end{eqnarray*}
したがって\\
$P \geqq 1-5P$\\
よって\\
$6P \geqq 1$\\
$$P\geqq \dfrac{1}{6}$$
またこの不等式が一致するためには
$p_1=p_2,p_2=p_3,p_3=p_4,p_4=p_5,p_5=p_6$がすべて成立するとき\\
よって
$$p_k=\dfrac{1}{6}$$

証明終了
\end{document}

