%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
\def\dvec#1{\overrightarrow{#1}}
\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1979年　入学試験　理系数学　問題5}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　中心がOである定円の周上に相異なる6つの定点 $\text{A}_1$，$\text{A}_2$，
$\text{A}_3$，$\text{A}_4$，$\text{A}_5$，$\text{A}_6$ がある．このとき
\begin{enumerate}
 \item　
      $\Vec{\text{OA}_1}+\Vec{\text{OA}_2}+\Vec{\text{OA}_3}=\Vec{\text{OH}}$ 
      となるように点Hをとれば，点Hは 
      $\triangle\text{A}_1\text{A}_2\text{A}_3$ の垂心であることを示せ．
 \item　6点 $\text{A}_k$（$k=1$，2，3，4，5，6）のうちから3点を任意にえ
      らぶ．えらんだ3点を頂点とする三角形の垂心と，残りの3点を頂点とする
      三角形の重心とを通る直線は，3点のえらびかたに無関係な一定の点を通
      ることを示せ．      
\end{enumerate}
注　三角形の各頂点からその対辺にひいた3つの垂線は1点で交わる．この交点を
その三角形の垂心という．
\ \\
{\large 解答}\\
\\
点Hが三角形$\text{A}_1\text{A}_2\text{A}_3$の垂心であるためには\\
$\text{A}_1\text{H}$と$\text{A}_2\text{A}_3$が直交し\\
$\text{A}_2\text{H}$と$\text{A}_1\text{A}_3$が直交し\\
$\text{A}_3\text{H}$と$\text{A}_1\text{A}_2$が直交すればよい\\
$\overrightarrow{\text{A}_1\text{H}}=\tvec{OH}-\tvec{OA}_1=\tvec{OA}_2+\tvec{OA}_3$\\
$\text{A}_2,\text{A}_3$はともに円周上の点なので\\
$|\tvec{OA}_2|=|\tvec{OA}_3|$\\
よって\\
$\tvec{OV}=\tvec{OA}_2+\tvec{OA}_3$とすると\\
点$\text{O}\text{A}_2\text{V}\text{A}_3$４辺がすべて等しいので菱形になる。\\
したがって\\
対角線$\text{O}\text{V}$と$\text{A}_2\text{A}_3$は直交する。\\
したがって$\text{A}_1\text{H}$と$\text{A}_2\text{A}_3$が直交する。\\
同様に$\text{A}_2\text{H}$と$\text{A}_1\text{A}_3$も直交し\\
$\text{A}_3\text{H}$と$\text{A}_1\text{A}_2$も直交する。\\
したがって$H$は三角形$\text{A}_1\text{A}_2\text{A}_3$の垂心である。\\
\ \\
2.\\
6点 $\text{A}_k$（$k=1$，2，3，4，5，6）のうちから3点を任意にえ
      らぶ．えらんだ3点を頂点とする三角形の垂心と，残りの3点を頂点とする
      三角形の重心とを通る直線は，3点のえらびかたに無関係な一定の点を通
      ることを示せ．      
始めに選んだ３点を$\text{B}_1,\text{B}_2,\text{B}_3$とする\\
この垂心を$H$とする。\\
つまり$\tvec{OH}=\tvec{OB}_1+\tvec{OB}_2+\tvec{OB}_3$\\
残りの３点を$\text{B}_4,\text{B}_5,\text{B}_6$とする\\
この重心を$G$とすると\\
$\tvec{OG}=\dfrac{\tvec{OB}_4+\tvec{OB}_5+\tvec{OB}_6}{3}$\\
直線$\tvec{GH}$上の点Tを考えると\\
$\tvec{OT}=t(\tvec{OB}_1+\tvec{OB}_2+\tvec{OB}_3)+(1-t)\dfrac{\tvec{OB}_4+\tvec{OB}_5+\tvec{OB}_6}{3}$と表される。\\
$t=\dfrac{1}{4}$のとき\\
\begin{eqnarray*}
\tvec{OT}&=&\dfrac{1}{4}(\tvec{OB}_1+\tvec{OB}_2+\tvec{OB}_3)+\dfrac{3}{4}\dfrac{\tvec{OB}_4+\tvec{OB}_5+\tvec{OB}_6}{3}\\
&=&\dfrac{1}{4}(\tvec{OB}_1+\tvec{OB}_2+\tvec{OB}_3)
+\dfrac{1}{4}(\tvec{OB}_4+\tvec{OB}_5+\tvec{OB}_6)\\
&=&\dfrac{1}{4}(\tvec{OB}_1+\tvec{OB}_2+\tvec{OB}_3+\tvec{OB}_4+\tvec{OB}_5+\tvec{OB}_6)
\end{eqnarray*}
となりTは選び方に関係なく一定の点となる。\\
よって$GH$は一定の点を通る。\\
証明終了
\end{document}
