%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1980年　入学試験　文系数学　問題2}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　凸四辺形ABCDの辺AB，BC，CD，DA上をそれぞれ一定の速さで動く動点P，Q，R，
Sが時刻 $t=0$ のときそれぞれA，B，C，Dを出発し，時刻 $t=1$ のときそれぞ
れB，C，D，Aに達するものとする．四辺形PQRSの面積を $t$（$0\leqq t\leqq
1$）の関数として表せ．またこの関数の最小値について調べよ．\\
\ \\
{\large 解答}\\
\\
凸四辺形なので線分PQ,QR,RS,SPはすべて辺上の点を結ぶ線分なので内部にある。\\
よって四辺AB,BC,CD,DAの長さをそれぞれ$l,m,n,o$\\
A,B,C,Dの角を$\alpha,\beta,\gamma,\delta$\\
四辺形ABCDの面積を$T$とすると\\
四辺形PQRSの面積$V$は
四辺形ABCDの面積から三角形APS,三角形BQP,三角形CRQ,三角形DSRを除いたものなので\\
$V=T-
\dfrac{1}{2}
(tl(1-t)o\sin \alpha 
+tm(1-t)l\sin \beta 
+tn(1-t)m\sin \gamma 
+to(1-t)n\sin \delta 
)$
と表せる。\\
また三角形ABDの面積が$\dfrac{1}{2}lo\sin \alpha $で\\
$T=\dfrac{1}{2}(\triangle\text{ABD}
+\triangle\text{BCA}
+\triangle\text{CDB}
+\triangle\text{DAC})$だから\\
$T=
\dfrac{1}{4}
(lo\sin \alpha 
+lm\sin \beta 
+mn\sin \gamma 
+on\sin \delta
)$である。\\
したがって
\begin{eqnarray*}
V&=&T-
\dfrac{1}{2}
(tl(1-t)o\sin \alpha 
+tm(1-t)l\sin \beta 
+tn(1-t)m\sin \gamma 
+to(1-t)n\sin \delta 
)\\
&=&T-
\dfrac{1}{2}
(
tlo\sin \alpha 
-t^2lo\sin \alpha 
+tml\sin \beta 
-t^2ml\sin \beta 
+tnm\sin \gamma 
-t^2nm\sin \gamma 
+ton\sin \delta 
-t^2on\sin \delta 
)\\
&=&T-
\dfrac{1}{2}
(
t(lo\sin \alpha 
+ml\sin \beta 
+nm\sin \gamma 
+on\sin \delta
)-(
lo\sin \alpha 
+ml\sin \beta 
+nm\sin \gamma 
+on\sin \delta 
)
)\\
&=&T-\dfrac{1}{2}(4Tt-4Tt^2)\\
&=&T(1-2t+2t^2)\\
\end{eqnarray*}
となり、四辺形PQRSの面積は四辺形ABCDの面積を$T$とすると\\
$$T(2t^2-2t+1)$$
$f(t)=2t^2-2t+1$とすると\\
$f(t)$は下に凸の二次式なので\\
$f'(t)=4t-2$より\\
$t=\dfrac{1}{2}$のとき最小となりその値は\\
$f(\dfrac{1}{2})=1-2\dfrac{1}{2}+2\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{2}$
よって四辺形PQRSの面積は$t=\dfrac{1}{2}$のとき最小となり\\
四辺形ABCDの面積の二分の１となる。\\

証明終了
\end{document}
