%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
\documentclass[a4j,10pt,fleqn]{jsarticle}
\mathindent=4zw
\parindent=0zw
\topmargin=0zw
\headheight=0zw
\headsep=0zw
\oddsidemargin=0zw
\evensidemargin=0zw
\setlength{\textheight}{0.9\paperheight}
\addtolength{\textheight}{-\topskip}
\addtolength{\textheight}{-\headsep}
\addtolength{\textheight}{-\footskip}
\addtolength{\textheight}{-\topskip}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx}
\pagestyle{plain}

\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
\def\dvec#1{\overrightarrow{#1}}
\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1980年　入学試験　文系数学　問題3}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　$f(x)$ が $n$ 次の多項式で $n\geqq 2$ であるとき，
\[
 f(x)+f(x+1)-2\int_{0}^1 f(x+t)\,dt
\]
は $n-2$ 次であることを示せ．
\ \\
{\large 解答}\\
\\
$f(x)=ax^n+bx^{n-1}+cx^{n-2}+g(x)$($a\neq0,g(x)$は$n-3$次以下の多項式)\\
とすると\\
\begin{eqnarray*}
\int_{0}^1 f(x+t)\,dt&=&\int_{x}^{x+1} f(x)\,dx\\
&=&\int_{x}^{x+1} ax^n+bx^{n-1}+cx^{n-2}+g(x)\,dx\\
&=&\left[\dfrac{a}{n+1}x^{n+1}+\dfrac{b}{n}x^{n}+\dfrac{c}{n-1}x^{n-1}\right]_x^{x+1}\\
& &+\int_{x}^{x+1} g(x)\,dx\\
&=&
\dfrac{a}{n+1}(x+1)^{n+1}+\dfrac{b}{n}(x+1)^{n}+\dfrac{c}{n-1}(x+1)^{n-1}\\
& &-(\dfrac{a}{n+1}x^{n+1}+\dfrac{b}{n}x^{n}+\dfrac{c}{n-1}x^{n-1})\\
& &+\int_{x}^{x+1} g(x)\,dx\\
&=&
\dfrac{a}{n+1}
((x+1)^{n+1}-x^{n+1})\\
& &+\dfrac{b}{n}
((x+1)^{n}-x^{n})\\
& &+\dfrac{c}{n-1}
((x+1)^{n-1}-x^{n-1})\\
& &+\int_{x}^{x+1} g(x)\,dx\\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
((x+1)^{n}-x^{n})&=&x^{n}+\binom{1}{n}x^n+\binom{2}{n}x^{n-1}+\binom{3}{n}x^{n-2}\\
& &+\cdots+\binom{n-1}{n}x+1-x^{n}\\
&=&\binom{1}{n}x^{n-1}+\binom{2}{n}x^{n-2}+\binom{3}{n}x^{n-3}\\
& &+\cdots+\binom{n-1}{n}x+1\\
&=&nx^{n-1}+\dfrac{n(n-1)}{2}x^{n-2}+\dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}x^{n-3}+\cdots+nx+1\\
&=&nx^{n-1}+\dfrac{n(n-1)}{2}x^{n-2}+h_n(x)
\end{eqnarray*}
$h_n(x)=\dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}x^{n-3}+\cdots+nx+1$とする。\\
より\\
\begin{eqnarray*}
\lefteqn{\dfrac{a}{n+1}((x+1)^{n+1}-x^{n+1})+\dfrac{b}{n}((x+1)^{n}-x^{n})+\dfrac{c}{n-1}((x+1)^{n-1}-x^{n-1})+\int_{x}^{x+1} g(x)\,dx}\\
&=&\dfrac{a}{n+1}((n+1)x^{n}+\dfrac{(n+1)n}{2}x^{n-1}+h_{n+1})\\
& &+\dfrac{b}{n}(nx^{n-1}+\dfrac{n(n-1)}{2}x^{n-2}+h_{n})\\
& &+\dfrac{c}{n-1}((n-1)x^{n-2}+\dfrac{(n-1)(n-2)}{2}x^{n-3}+h_{n-1})\\
& &+\int_{x}^{x+1} g(x)\,dx\\
&=&
ax^{n}
+a\dfrac{n}{2}x^{n-1}
+a\dfrac{1}{n+1}h_{n+1}
\\
& &
+bx^{n-1}
+b\dfrac{(n-1)}{2}x^{n-2}
+b\dfrac{1}{n}h_{n}
\\
& &
+cx^{n-2}
+c\dfrac{(n-2)}{2}x^{n-3}
+c\dfrac{1}{n-1}h_{n-1}
\\
& &+\int_{x}^{x+1} g(x)\,dx\\
&=&
ax^{n}
\\
& &
+a\dfrac{n}{2}x^{n-1}
+bx^{n-1}
\\
& &
+b\dfrac{(n-1)}{2}x^{n-2}
+cx^{n-2}
\\
& &
+c\dfrac{(n-2)}{2}x^{n-3}
\\
& &
+a\dfrac{1}{n+1}h_{n+1}
+b\dfrac{1}{n}h_{n}
+c\dfrac{1}{n-1}h_{n-1}
\\
& &+\int_{x}^{x+1} g(x)\,dx\\
&=&
ax^{n}
\\
& &
+(a\dfrac{n}{2}+b)x^{n-1}
\\
& &
+(b\dfrac{(n-1)}{2}+c)x^{n-2}
\\
& &
+c\dfrac{(n-2)}{2}x^{n-3}
\\
& &
+a\dfrac{1}{n+1}h_{n+1}
+b\dfrac{1}{n}h_{n}
+c\dfrac{1}{n-1}h_{n-1}
\\
& &+\int_{x}^{x+1} g(x)\,dx\\
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
((x+1)^{n}+x^{n})&=&x^{n}+\binom{1}{n}x^n+\binom{2}{n}x^{n-1}+\binom{3}{n}x^{n-2}\\
& &+\cdots+\binom{n-1}{n}x+1+x^{n}\\
&=&2x^{n}+\binom{1}{n}x^{n-1}+\binom{2}{n}x^{n-2}+\binom{3}{n}x^{n-3}\\
& &+\cdots+\binom{n-1}{n}x+1\\
&=&2x^{n}+nx^{n-1}+\dfrac{n(n-1)}{2}x^{n-2}+\dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}x^{n-3}+\cdots+nx+1\\
&=&2x^{n}+nx^{n-1}+\dfrac{n(n-1)}{2}x^{n-2}+h_n(x)
\end{eqnarray*}
$h_n(x)=\dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}x^{n-3}+\cdots+nx+1$とする。\\
\begin{eqnarray*}
f(x)+f(x+1)&=&ax^n+bx^{n-1}+cx^{n-2}+g(x)+a(x-1)^n+b(x+1)^{n-1}+c(x+1)^{n-2}+g(x+1)\\
&=&
+a((x-1)^n+x^n)
+b(x^{n-1}+(x+1)^{n-1})
+c(x^{n-2}+(x+1)^{n-2})
+g(x)+g(x+1)\\
&=&
+a(2x^{n}+nx^{n-1}+\dfrac{n(n-1)}{2}x^{n-2}+h_n(x))\\
& &+b(2x^{n-1}+nx^{n-2}+\dfrac{(n-1)(n-2)}{2}x^{n-3}+h_{n-1}(x))\\
& &+c(2x^{n-2}+nx^{n-3}+\dfrac{(n-2)(n-3)}{2}x^{n-4}+h_{n-2}(x))\\
& &+g(x)+g(x)+g(x+1)\\
&=&
+2ax^{n}
+anx^{n-1}
+a\dfrac{n(n-1)}{2}x^{n-2}
+ah_n(x)
\\
& &
+2bx^{n-1}
+b(n-1)x^{n-2}
+b\dfrac{(n-1)(n-2)}{2}x^{n-3}
+bh_{n-1}(x)
\\
& &
+2cx^{n-2}
+c(n-2)x^{n-3}
+c\dfrac{(n-2)(n-3)}{2}x^{n-4}
+ch_{n-2}(x)
\\
& &
+g(x)+g(x+1)\\
&=&
+2ax^{n}
\\
& &
+anx^{n-1}
+2bx^{n-1}
\\
& &
+a\dfrac{n(n-1)}{2}x^{n-2}
+b(n-1)x^{n-2}
+2cx^{n-2}
\\
& &
+b\dfrac{(n-1)(n-2)}{2}x^{n-3}
+c(n-2)x^{n-3}
+c\dfrac{(n-2)(n-3)}{2}x^{n-4}
+ah_n(x)
+bh_{n-1}(x)
+ch_{n-2}(x)
\\
& &
+g(x)+g(x+1)\\
&=&
+2ax^{n}
\\
& &
+(an+2b)x^{n-1}
\\
& &
+(a\dfrac{n(n-1)}{2}+b(n-1)+2c)x^{n-2}
\\
& &
+b\dfrac{(n-1)(n-2)}{2}x^{n-3}
+c(n-2)x^{n-3}
+c\dfrac{(n-2)(n-3)}{2}x^{n-4}
+ah_n(x)
+bh_{n-1}(x)
+ch_{n-2}(x)
\\
& &
+g(x)+g(x+1)\\
\end{eqnarray*}
$g(x),\int_{x}^{x+1} g(x)\,dt$の係数は$n-3$次以下なので\\
\ \\
$f(x)+f(x+1)$の\\
$n$次の係数は$2a$\\
$n-1$次の係数は$an+2b$\\
$n-2$次の係数は$a\dfrac{n(n-1)}{2}+b(n-1)+2c$\\
$\int_{0}^1 f(x+t)\,dt$の\\
$n$次の係数は$a$\\
$n-1$次の係数は$a\dfrac{n}{2}+b$\\
$n-2$次の係数は$(b\dfrac{(n-1)}{2}+c)$\\
となり\\
$f(x)+f(x+1)-2\int_{0}^1 f(x+t)\,dt$の\\
$n$次の係数は$2a-2a=0$\\
$n-1$次の係数は$an+2b-2(a\dfrac{n}{2}+b)=0$\\
$n-2$次の係数は$a\dfrac{n(n-1)}{2}+b(n-1)+2c-2(b\dfrac{(n-1)}{2}+c)=a\dfrac{n(n-1)}{2}$\\
となり\\
$a\neq 0,n\geqq 2$なので$n-2$次の係数は0ではない\\
よって$f(x)+f(x+1)-2\int_{0}^1 f(x+t)\,dt$は$n-2$次\\

証明終了
\end{document}
