%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1980年　入学試験　文系数学　問題4}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　A君は次のように考えた．\\
「さいころを6回ふることにする．$m=1$，2，3，4，5，6のおのおのについて，
$m$ 回目に1の目が出る確率は $\dfrac{1}{6}$ である．したがって，6回のうち
に少なくとも1回は1の目が出る確率は %
$\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}=1$ 
である．すなわち，さいころを6回ふれば少なくも1回は1の目が出る．」\\
　A君の考えは正しいかどうかをいえ．もし正しくないならば，誤りの原因を，
なるべく簡潔に指摘せよ．
\ \\
{\large 解答}\\
\\
A君の考えは正しくない\\
誤りの原因は確率を加算したことにある。\\
排他な事象の起こる確率以外は加算することはできないが、この第$m$回目に1がでる確率は\\
それぞれ独立なので排他ではない。\\
したがって加算することはできない。\\
この場合加算できるように考えるならば\\
1回目に1がでる確率$\dfrac{1}{6}$と\\
1回目に1が出なかった場合に2回目で1がでる場合の数$\dfrac{5\cdot 1}{6^2}$と\\
2回目までに1が出なかった場合に3回目で１がでる場合の数$\dfrac{5^2\cdot 1 }{6^3}$と\\
3回目までに1が出なかった場合に4回目で１がでる場合の数$\dfrac{5^3\cdot 1 }{6^4}$と\\
4回目までに1が出なかった場合に5回目で１がでる場合の数$\dfrac{5^4\cdot 1 }{6^5}$と\\
5回目までに1が出なかった場合に6回目で１がでる場合の数$\dfrac{5^5\cdot 1 }{6^6}$\\
を加算する必要がある。\\
つまり\\
$\dfrac{6^5+5\cdot 6^4+5^2\cdot 6^3+5^3\cdot 6^2+5^4\cdot 6+5^5}{6^6}$\\
となる。\\
もっと簡単に考えるならば少なくとも1回は1が出る確率というのはすべて1以外が出る確率の反対の事象なので\\
すべて1以外が出る確率は$\left(\dfrac{5}{6}\right)^6$なので\\
$1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^6$である。\\

証明終了
\end{document}
