%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1980年　入学試験　文系数学　問題5}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　互いに異なる $n$ 個（$n\geqq 3$）の正の数の集合 
$S=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}$ が次の性質をもつという．
\begin{quote}
「$S$ から相異なる要素 $a_i$，$a_j$ をとれば $a_i-a_j$，$a_j-a_i$ の少な
くとも一方は必ず $S$ に属する」
\end{quote}
　このとき，$a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_n$ の順序を適当に変えれば等差数列
      になることを示せ．\\
\ \\
{\large 解答}\\
\\
まず、$a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_n$を大小の順にならべ変えて、
値の小さい方から$b_1$，$b_2$，$\cdots$，$b_n$とする。\\
順番を適当にかえれば等差数列になることをしめすためにはこの数列について考えてもよい。\\
このとき当然これらの数の最小は$b_1$であり、最大は$b_n$である。\\
$b_1,b_2,\cdots,b_n$は大きさの順にならべて、かつそれぞれの要素は異なるので\\
$b_1 < b_2 < b_3 < \cdots < b_n$となる。\\
任意の$i(1\leqq i \leqq n-1)$について$b_i<b_{i+1}$なので$b_i-b_{i+1}<0$\\
しかし$b_i$はすべて正なので$b_i-b_{i+1}$は$S$の要素とはなり得ない\\
しかし$b_i-b_{i+1}$または$b_{i+1}-b_i$のいずれかが$S$の要素なので$b_{i+1}-b_i$が$S$の要素である。\\
$S$の要素はすべて$b_1$と等しいか大きいので$b_{i+1}-b_i\geqq b_1$\\
したがって$b_{i+1}-b_1\geqq b_i$\\
$b_{i+1}-b_1$も$S$の要素でなければならないが$b_1>0$なので\\
$b_{i+1}-b_1<b_{i+1}$となり\\
$b_{i+1}-b_1$は$b_{i+1}>b_{i+1}-b_1\geqq b_i$となる\\
しかし$b_{i+1}$と$b_i$の間には要素は無いので$b_{i+1}-b_1 =  b_i$\\
これが任意の$i$について成り立つので$b_i$は公差$b_1$の等差数列\\
よってこれ以上並べ変えるまでもなく、$a_i$を大きさの順に並べ変えた数列は等差数列となる。\\
つまり$a_i$を適当に並べ変えれば等差数列となる。\\
証明終了
\end{document}
