%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
\documentclass[a4j,10pt,fleqn]{jsarticle}
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
\def\dvec#1{\overrightarrow{#1}}
\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1980年　入学試験　理系数学　問題1}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　二つの行列 $A=\begin{pmatrix}0 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$，
$B=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$ だけを使い，乗法で得られ
る行列（$A$，$B$ いずれも何回も使ってよい）全部を求めよ．\\
\\
{\large 解答}\\
\\
$AB=
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\ 
0 & 0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
$\\
$BA=
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\ 
0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
$\\
$A^2=
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
$\\
$B^2=
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\ 
0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\ 
0 & 0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\ 
0 & 0
\end{pmatrix}
$\\
また$ABAB=
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
=AB$\\
$BABA=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
=BA$\\
以上より$A$,$B$が$2$個以上並んだ部分を含む積は零行列を含み、零行列を含む積は零行列になってしまうので\\
零行列以外の積は\\
$ABABAB\cdots AB$\\
$ABABAB\cdots ABA$\\
$BABABA\cdots BA$\\
$BABABA\cdots BAB$\\
の４種類しかあり得ない。\\
$ABAB=AB$,$BABA=BA$なので\\
$ABABAB\cdots AB=AB$\\
$ABABAB\cdots ABA=ABA$\\
$BABABA\cdots BA=BA$\\
$BABABA\cdots BAB=BAB$\\
ここで$ABA,BAB$を計算すると\\
$ABA=
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
=A$\\
$BAB=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\ 
0 & 0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\ 
0 & 0
\end{pmatrix}
=B$\\
なので\\
$ABABAB\cdots ABA=ABA=A$\\
$BABABA\cdots BAB=BAB=B$\\
となる。\\
積によってできる行列は零行列以外には$A,B,AB,BA$の4種類\\
よって積によって作られる行列は
$$
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
$$
証明終了
\end{document}
