%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
\def\dvec#1{\overrightarrow{#1}}
\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1980年　入学試験　理系数学　問題2}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　放物線 $y=ax^2+bx$ で，次の性質をもつものを考える．
\begin{description}
 \item[]\MARU{1}　$a<0$，$b>0$ 
 \item[]\MARU{2}　放物線の頂点は直線 $y=-2x+5$ 上にある． 
\end{description}
　このような放物線のうち，それと $x$ 軸とが囲む面積が最大になるのは，$b$ 
がどのような値をとるときか．また，そのときの面積を求めよ．\\
\\
{\large 解答}\\
\\
$y=ax^2+bx$を微分すると$y'=2ax+b$となる。\\
頂点の$x$の値は$y'=0$の時の$x$の値なので、$2ax+b=0$より$x=-\dfrac{b}{2a}$\\
その時の$y$の値は頂点が$y=-2x+5$ 上にあることから、$y=\dfrac{b}{a}+5$となる。\\
頂点は当然放物線上の点でもあるので、$y=a(\dfrac{b}{2a})^2-b\dfrac{b}{2a}$も同時に成立しなければならない。\\
したがって$\dfrac{b}{a}+5= a(\dfrac{b}{2a})^2-b\dfrac{b}{2a}$が成立する。\\
これを整理すると$b^2+4b+20a=0$となる。
$a$を$b$で表すと$a=-\dfrac{b(b+4)}{20}$\\
したがって、放物線の式は$y=-\dfrac{b(b+4)}{20}x^2+bx$となる。\\
この放物線とx軸の囲む部分の面積は、放物線とx軸の交点つまり$y=0$となる$x$の値の範囲を積分したものになる\\
$y=0$となる$x$の値は$-\dfrac{b(b+4)}{20}x^2+bx=-\dfrac{bx(x(b+4)-20)}{20}=0$より
$x=0,\dfrac{20}{b+4}$ となる。
したがって、面積は
\begin{eqnarray*}
S &=& \int_0^{\dfrac{20}{b+4}}-\dfrac{b(b+4)}{20}x^2+bx\,dx\\
&=& \left[-\dfrac{b(b+4)}{60}x^3+\dfrac{b}{2}x^2 \right]_0^{\dfrac{20}{b+4}}\\
&=& -\dfrac{b(b+4)}{60}(\dfrac{20}{b+4})^3+\dfrac{b}{2}(\dfrac{20}{b+4})^2 \\
&=&\dfrac{200b}{3(b+4)^2}
\end{eqnarray*}
$S$を$b$で微分すると
$$\dfrac{dS}{db}=-\dfrac{200(b-4)}{3(b+4)^3}$$
となる。
分母は$b>0$の範囲で常に正、分子は$0<b<4$の範囲で正　$b>4$の範囲で負となるので、$S$は上に凸となり、$b=4$の点で最大となる。
以上より、
$$b=4$$
の点で最大となり、その時の面積は
$$\dfrac{25}{6}$$

\end{document}
