%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
\documentclass[a4j,10pt,fleqn]{jsarticle}
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
\def\dvec#1{\overrightarrow{#1}}
\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1980年　入学試験　理系数学　問題3}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　空間の3点A，B，Cの組で，次の条件を満たすものを考える．
\begin{description}
 \item[]\MARU{1}　A，B，Cは平面 $x+y+z=1$ 上にある． 
 \item[]\MARU{2}　Aの座標が $(l,m,n)$ であれば，B，Cの座標はそれぞれ 
	    $(m,n,l)$，$(n,l,m)$ である．
 \item[]\MARU{3}　ベクトル $\Vec{\text{OA}}$，$\Vec{\text{OB}}$ は直交す
	    る（ただし，$\text{O}=(0,0,0)$）． 
\end{description}
　このとき，そのようなA，B，Cのとり方に関せず，次の三つが成り立つことを示せ．
\begin{enumerate}
 \item　A，B，Cは定円上にある．
 \item　四面体OABCの体積は一定である．
 \item　BC，CA，AB，OA，OB，OCの中点をそれぞれL，M，N，P，Q，Rとすれば6
      点L，M，N，P，Q，Rは定球面上にある
\end{enumerate}
\ \\
{\large 解答}\\
\\
1.\\
\MARU{2}より$|\tvec{OA}|=|\tvec{OB}|=|\tvec{OC}=\sqrt{l^2+m^2+n^2}$なので
ABCはOを中心とする半径$\sqrt{l^2+m^2+n^2}$の球面上にある。\\
ABCは球面を平面で切断した断面の円上にある。\\
$l^2+m^2+n^2=(l+m+n)^2-2(lm+mn+nl)=1-2(lm+mn+nl)$\\
$\tvec{OA}$と$\tvec{OB}$が直交するので\\
$|\tvec{OA}|^2+|\tvec{OB}|^2=|\tvec{BA}|^2$\\
$|\tvec{OA}|^2=|\tvec{OB}|^2=l^2+m^2+n^2$\\
$|\tvec{BA}|^2=(l-m)^2+(m-n)^2+(n-l)^2=2(l^2+m^2+n^2)-4(ml+mn+nl)$\\
よって$2(l^2+m^2+n^2)=2(l^2+m^2+n^2)-4(ml+mn+nl)$となり\\
$ml+mn+nl=0$\\
よって$l^2+m^2+n^2=1$\\
以上より$\sqrt{l^2+m^2+n^2}=1$となり球の半径はつねに1\\
よって半径１の球面を平面$x+y+z=1$で切断したときの断面は一定なのでABCは定円上にある。\\
2.\\
四面体OABCの体積は三角形ABCを底面とした三角錐なのでその面積は三角形ABCの面積を$S$\\
Oと平面$x+y+z=1$の距離を$h$としたとき$\dfrac{1}{3}Sh$となる。\\
$AB=c$,$BC=a$,$CA=b$とすると\\
$c=\sqrt{(l-m)^2+(m-n)^2+(n-l)^2}$\\
$a=\sqrt{(m-n)^2+(n-l)^2+(l-m)^2}$\\
$b=\sqrt{(n-l)^2+(l-m)^2+(m-n)^2}$\\
となり$a=b=c=\sqrt{(n-l)^2+(l-m)^2+(m-n)^2}=1$\\
ヘロンの公式より三角形の３辺の長さを$a,b,c$とすると$s=\dfrac{a+b+c}{2}$として\\
$S=\sqrt{s(s-a)(a-b)(s-c)}$\\
$a=b=c=1$を代入すると$S=\sqrt{\dfrac{3}{2}\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}$\\
$h$は一定なので
OABCの体積は$\dfrac{1}{3}Sh=\dfrac{h}{\sqrt{3}}$となり一定。\\
3.
\begin{eqnarray*}
\tvec{OL}&=&\dfrac{\tvec{0B}+\tvec{OC}}{2}\\
\tvec{OM}&=&\dfrac{\tvec{0C}+\tvec{OA}}{2}\\
\tvec{ON}&=&\dfrac{\tvec{0A}+\tvec{OB}}{2}\\
\tvec{OP}&=&\dfrac{\tvec{0A}}{2}\\
\tvec{OQ}&=&\dfrac{\tvec{0B}}{2}\\
\tvec{OR}&=&\dfrac{\tvec{0C}}{2}
\end{eqnarray*}
である。\\
よって
$|\tvec{OL}|=|\dfrac{\tvec{0B}+\tvec{OC}}{2}|=\dfrac{\sqrt{(m+n)^2+(n+l)^2+(l+m)^2}}{2}=\dfrac{\sqrt{2(l^2+m^2+n^2)+4(lm+mn+nl)}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
同様に\\
$|\tvec{OM}|=|\tvec{ON}|=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$\\
よってLMNは中心Oから半径$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$の球面を平面$x+y+z=1$で切断した断面の円上にある。\\
同様に
$|\tvec{OP}|=|\tvec{OQ}|=|\tvec{OR}|=\dfrac{|\tvec{OA}|}{2}=\dfrac{1}{2}$となり\\
また
$OP=(\dfrac{l}{2},\dfrac{m}{2},\dfrac{n}{2})$\\
$OQ=(\dfrac{m}{2},\dfrac{n}{2},\dfrac{l}{2})$\\
$OR=(\dfrac{n}{2},\dfrac{l}{2},\dfrac{m}{2})$\\
よりPQRは$x+y+z=\dfrac{1}{2}$上にあるので\\
半径$\dfrac{1}{2}$中心Oの球面を平面$x+y+z=\dfrac{1}{2}$で切断した断面の円上にある。\\
これらはともに同じ中心をもつ球を平行な平面で切断した断面なのでその円の中心はOと１直線上にある。\\
したがってこの直線は平面と垂直である。\\
したがってこの二つの円は平行な面上で中心と中心を結ぶ線分が平面に垂直になるので\\
この二つの円を断面とする一つの球が存在する。\\
また上述の通りABCのとり方に依存しない。\\
またこの球は平面が一致しない限り一つに限るのでABCのとり方に依存せず一つきまる。\\
よってL,M,N,P,Q,Rは定球面上にある。\\
証明終了
\end{document}
