%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
\def\dvec#1{\overrightarrow{#1}}
\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1980年　入学試験　理系数学　問題4}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　次のようなゲームがある．
\begin{description}
 \item[]\MARU{1}　最初の持ち点は2である． 
 \item[]\MARU{2}　サイコロをふって，奇数の目が出れば持ち点が1点増し，
	    偶数の目が出れば持ち点が1点減る．このような操作を5回する．た
	    だし途中で持ち点が0になったら，その時点でゲームは終了する．
\end{description}
　このゲームについて，5回サイコロをふることができる確率，およびゲームが終
わった時の持ち点の期待値を求めよ．
\ \\
{\large 解答}\\
\\
サイコロをふって奇数がでる確率と偶数が出る確率はともに$\dfrac{1}{2}$\\
５回サイコロをふることができる確率は\\
４回目までに０になっていないことが必要。\\
１回について$\pm1$持ち点が変化しゲームを4回行うので、終了時点の持ち点は0か偶数\\
最大は6なので４回の結果は$6,4,2,0$の４通り\\
それぞれを考えると\\
結果が６になるのはすべて奇数のときの１通り\\
結果が４になるのは１回だけ偶数のときの４通り\\
結果が２になるのは２回だけ偶数のときの６通りあるがそれぞれの結果を並べると
\begin{eqnarray*}
(1,1,-1,-1)&=&2\\
(1,-1,1,-1)&=&2\\
(1,-1,-1,1)&=&2\\
(-1,1,1,-1)&=&2\\
(-1,1,-1,1)&=&2\\
(-1,-1,1,1)&=&0\\
\end{eqnarray*}
なので実際は５通り\\
結果が０になるのは上記以外で$2^4-10=6$通り\\
よって５回サイコロをふることができる確率は$\dfrac{10}{16}=\dfrac{5}{8}$\\
\ \\
１回について$\pm1$持ち点が変化しゲームを５回行うので、終了時点の持ち点は0か奇数。\\
したがって5回とも奇数である場合が最大で７、最小が0\\
よって可能な結果は$0,1,3,5,7$のいずれかそれぞれを考えると\\
結果が７になる場合\\
上記の通り５回とも奇数になる場合で１通り\\
結果が５になる場合\\
１回目から５回目の１回だけ偶数が出る場合で５通り\\
結果が３になる場合\\
１回目から５回目のうち２回だけ偶数がでる場合の１０通り考えられるが\\
１回目と２回目に偶数がでた場合はその時点で０となりゲームが終了するのでその場合を除いて９通り\\
結果が１になる場合\\
１回目から５回目のうち３回だけ偶数がでる場合で１０通り考えられるが\\
すべての組合せを考え、その時の結果を考えると\\
\begin{eqnarray*}
(1,1,-1,-1,-1)&=&1\\
(1,-1,1,-1,-1)&=&1\\
(-1,1,1,-1,-1)&=&1\\
(1,-1,-1,1,-1)&=&1\\
(-1,1,-1,1,-1)&=&1\\
(1,-1,-1,-1,1)&=&0\\
(-1,1,-1,-1,1)&=&0\\
(-1,-1,1,1,-1)&=&0\\
(-1,-1,1,-1,1)&=&0\\
(-1,-1,-1,1,1)&=&0\\
\end{eqnarray*}
の結果５通り\\
結果が０になる場合は上記の場合以外\\

したがって期待値は$\dfrac{7\cdot 1+5\cdot 5+3\cdot 9+1 \cdot 5}{32}=\dfrac{64}{32}=2$\\
$$\text{期待値は}2$$

証明終了
\end{document}
