%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1980年　入学試験　理系数学　問題5}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　互いに異なる $n$ 個（$n\geqq 3$）の実数の集合 
$S=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}$ が次の性質をもつという．
\begin{quote}
「$S$ から相異なる要素 $a_i$，$a_j$ をとれば $a_i-a_j$，$a_j-a_i$ の少な
くとも一方は必ず $S$ に属する」
\end{quote}
　このとき，
\begin{enumerate}
 \item　次の2つのうちのいずれか一方が成り立つことを示せ．\\
　（イ）$a_i\geqq 0$（$i=1$，2，$\cdots$，$n$）\\
　（ロ）$a_i\leqq 0$（$i=1$，2，$\cdots$，$n$）
 \item　$a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_n$ の順序を適当に変えれば等差数列にな
      ることを示せ．
\end{enumerate}
\ \\
{\large 解答}\\
\\
まず、$a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_n$を大小の順にならべ変えて、
値の小さい方から$b_1$，$b_2$，$\cdots$，$b_n$とする。\\
順番を適当にかえれば等差数列になることをしめすためにはこの数列について考えてもよい。\\
このとき当然これらの数の最小は$b_1$であり、最大は$b_n$である。\\
1.\\
$b_1<0$かつ$b_n>0$とすると\\
$b_1<0$より$b_n-b_1>b_n$\\
$b_n>0$より$b_1-b_n<b_1$\\
$b_n-b_1$または$b_1-b_n$のいずれかが集合に属さなければならないので\\
$b_1$より小さい元または$b_n$より大きい元が集合に属することになり、$b_1$が最小、$b_n$が最大に反する。\\
したがって$b_1\geqq 0$かつ$b_n\geqq 0$または$b_1\leqq 0$かつ$b_n\leqq 0$のいずれかである。\\
$b_1,b_2,\cdots,b_n$は大きさの順にならべて、かつそれぞれの要素は異なるので\\
$b_1 < b_2 < b_3 < \cdots < b_n$であるから。\\
$b_1 \geqq 0$ならば$b_i\geqq 0$\\
$b_n \leqq 0$ならば$b_i\leqq 0$\\
\\
2.\\
$b_1\geqq 0$かつ$b_n\geqq 0$の場合をかんがえる。\\
$b_1,b_2,\cdots,b_n$は大きさの順にならべて、かつそれぞれの要素は異なるので\\
$b_1 < b_2 < b_3 < \cdots < b_n$となる。\\
したがって$b_2>b_1\geqq0$より$b_2>0$\\
任意の$i(1\leqq i \leqq n-1)$について$b_i<b_{i+1}$なので$b_i-b_{i+1}<0$\\
しかし$b_i$はすべて正または0なので$b_i-b_{i+1}$は$S$の要素とはなり得ない\\
しかし$b_i-b_{i+1}$または$b_{i+1}-b_i$のいずれかが$S$の要素なので$b_{i+1}-b_i$が$S$の要素である。\\
$S$の要素はすべて$b_1$と等しいか大きいので$b_{i+1}-b_i\geqq b_1$\\
また$b_{i+1}$と$b_i$は異なるので$b_{i+1}-b_i>0$\\
$b_1=0$の場合\\
$b_{i+1}-b_i>b_1$となり$b_1$より大きな次の要素は$b_2$なので\\
$b_{i+1}-b_i<b_2$とすると$b_1$と$b_2$の間に別の要素があることになり大きさの順に並べ変えたことに反する。\\
よって$b_{i+1}-b_i\geqq b_2$\\
したがって$b_{i+1}-b_2\geqq b_i$\\
$b_{i+1}-b_2$も$S$の要素でなければならないが$b_{i+1}-b_2<b_{i+1}$より\\
$b_{i+1}-b_2$は$b_{i+1}>b_{i+1}-b_2\geqq b_i$となり\\
$b_{i+1}$と$b_i$の間には要素は無いので$b_{i+1}-b_2 =  b_i$\\
これが任意の$i$について成り立つので$b_i$は公差$b_2$の等差数列\\
$b_1>0$の場合は同様に$b_i$は公差$b_1$の等差数列。\\
$b_1\leqq 0$かつ$b_n\leqq 0$の場合も同様に\\
$b_i$は公差$b_1$または$b_2$の等差数列\\
以上より
すべての場合において$b_i$は等差数列である。\\
よってこれ以上並べ変えるまでもなく、$a_i$を大きさの順に並べ変えた数列は等差数列となる。\\
つまり$a_i$を適当に並べ変えれば等差数列となる。\\
証明終了
\end{document}
