%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
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\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
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\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1980年　入学試験　理系数学　問題6}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　0，1のいずれとも異なる2整数 $a$，$b$（$a\neq b$）を考え，
$f(x)=x(x-1)(x-a)(x-b)+1$ とおく．$g(x)$，$h(x)$ が整数係数の多項式で 
$f(x)=g(x)h(x)$ であると仮定する．このとき，
\begin{enumerate}
 \item　$g(0)=h(0)$
 \item　$g(x)$，$h(x)$ のどちらも定数でないならば $g(x)=h(x)$ であること
      を示せ． 
 \item　(2)の場合が起こるような $a$，$b$ の例を1組求めよ．
\end{enumerate}
\ \\
{\large 解答}\\
\\
1.\\
$f(x)=g(x)h(x)$なので\\
$f(0)=g(0)h(0)$\\
$f(0)=1$であり$g(0),h(0)$は整数係数の多項式なので0次の係数も整数。\\
したがって$g(0)=m,h(0)=n$とすると$m,n=1$\\
整数の積が１になるのは$(m,n)=(1,1),(-1,-1)$に限るのでどちらにしても$m=n$\\
よって$g(0)=h(0)$\\
\ \\
2.\\
$f(1)=f(a)=f(b)=1$より\\
1.と同様に\\
$g(1)=h(1),g(a)=h(a),g(b)=h(b)$\\
また$f(x)$は4次なので$g(x),h(x)$のどちらも定数でないならば$g(x),h(x)$は1次以上3次以下\\
3次以下の多項式は異なる4つのxに対する値きまれば一つに決まる。\\
$a,b$は$0,1$と異なり$a\neq b$なので$0,1,a,b$はすべて相異なる。\\
したがって、$g(x),h(x)$はともにおなじ4つの値を共有するので同一でなければならない。\\
3.\\
$g(x)=h(x)$\\
また$f(x)$の4次の係数が1なので$g(x),h(x)$の最高次の係数は$(1,1)$または$(-1,-1)$\\
$g(x),h(x)$の次数は2となる。\\
また$g(0)=\pm 1$より定数項は$\pm 1$\\
$c=\pm 1,e=\pm 1$($\pm$は任意)として\\
したがって$g(x)=h(x)=cx^2+dx+e$と表せる。\\
ここで\\
$g(1)=c+d+e=\pm 1$\\
より\\
$d=\pm 1\pm 1 \pm 1=\pm 3,\pm 1$となり\\
$g(x)$は\\
\begin{eqnarray*}
x^2+x+1\\
x^2+x-1\\
x^2-x+1\\
x^2-x-1\\
x^2+3x+1\\
x^2+3x-1\\
x^2-3x+1\\
x^2-3x-1\\
-x^2+x+1\\
-x^2+x-1\\
-x^2-x+1\\
-x^2-x-1\\
-x^2+3x+1\\
-x^2+3x-1\\
-x^2-3x+1\\
-x^2-3x-1\\
\end{eqnarray*}
の可能性があるが$g(1)=\pm 1$を満たす組合せは\\
\begin{eqnarray*}
x^2+x-1\\
x^2-x+1\\
x^2-x-1\\
x^2-3x+1\\
-x^2+x+1\\
-x^2+x-1\\
-x^2-x+1\\
-x^2+3x-1\\
\end{eqnarray*}
となる。\\
１例として\\
$g(x)=x^2+x-1$から$f(x)$を計算すると\\
$f(x)=g^2(x)=(x^2+x-1)^2=x^4+2x^3-x^2-2x+1$\\
$f(x)-1$を因数分解すると\\
$f(x)-1=x(x-1)(x+1)(x+2)$となり$a=-1,b=-2$で成立する。
よって、１組は
$$a=-1,b=-2$$
残りの組を計算すると\\
$x^2-x+1$のときは整数にならない\\
$x^2-x-1$のときは$a=-1,b=2$\\
$x^2-3x+1$のときは$a=2,b=3$\\
$-x^2+x+1$のときは$a=-1,b=2$\\
$-x^2+x-1$のときは整数にならない\\
$-x^2-x+1$ときは$a=-1,b=-2$\\
$-x^2+3x-1$のときは$a=2,b=3$\\
となる。\\
よって可能な$(a,b)$の組合せは
$$(a,b)=(-1,-2),(-1,2),(2,3),(-2,-1),(2,-1),(3,2)\text{の６通り}$$
証明終了
\end{document}
