%2007/04/22 06:10
%Copyright 2007 WATANABE,Masayuki
\documentclass[a4j,10pt,fleqn]{jsarticle}
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\def\dsum{\displaystyle\sum}
\def\dlim{\displaystyle\lim}
\def\dint{\displaystyle\int}
\def\dprod{\displaystyle\prod}
\def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}}
\def\dvec#1{\overrightarrow{#1}}
\def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}}
\begin{document}
{\large 京都大学　1981年　入学試験　文系数学　問題1}\\
\\
{\large 問題}\\
\\
　座標平面上に，原点と異なる3点A，B，Cを考える．Aは $x$ 軸上にあり，Bは 
$y$ 軸上にあるものとする．Oを原点とするとき，1次変換 $f$ が 
$f(\Vec{\text{OA}})=\Vec{\text{OB}}$，
$f(\Vec{\text{OB}})=\Vec{\text{OC}}$，
$f(\Vec{\text{OC}})=\Vec{\text{OA}}$ をみたすものとする．このとき，次の
(1)，(2)が成り立つことを示せ．
\begin{enumerate}
 \item　$\Vec{\text{OA}}+\Vec{\text{OB}}+\Vec{\text{OC}}=\Vec{0}$
 \item　$|\Vec{\text{OA}}|=|\Vec{\text{OB}}|$ なるとき，平面上の点Pで，
      $\Vec{\text{OP}}$ と $f(\Vec{\text{OP}})$ とが直交するならば，点P
      は $x$ 軸上にある．ただし，$|\quad|$ はベクトルの大きさを表わす．
\end{enumerate}
\ \\
{\large 解答}\\
\\
$A=(x,0),B=(0,y)$とおき\\
$f$を表す行列を$T=
\begin{pmatrix}
a&c\\
b&d
\end{pmatrix}
$とすると\\
$f(\tvec{OA})=
\begin{pmatrix}
a&c\\
b&d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\
0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
ax\\
bx
\end{pmatrix}
\tvec{OB}$\\
より$ax=0,y=bx$\\
$x \neq 0$より$a=0$\\

$f(\tvec{OB})=
\begin{pmatrix}
a&c\\
b&d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0\\
bx
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
bcx\\
bdx
\end{pmatrix}
=\tvec{OC}$\\
$f(\tvec{OC})=
\begin{pmatrix}
a&c\\
b&d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
bcx\\
bdx
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
abcx+bcdx\\
b^2cx+bd^2x
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x\\
0
\end{pmatrix}
=\vec{OA}
$\\
より
$bcdx=x$\\
$x\neq 0$より$bcd=1$\\
$b^2cx+bd^2x=0$\\
$bx(bc+d^2)=0$\\
$bcd=1$より$b,c,d \neq 0$\\
よって$bc+d^2=0$\\
$bc=\dfrac{1}{d}$より\\
$\dfrac{1}{d}+d^2=0$\\
$d^3+1=0$\\
$d$は実数なので$d=-1$\\
よって$bc=-1$\\
$\tvec{OA}+\tvec{OB}+\tvec{OC}=
\begin{pmatrix}
x\\
0
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
0\\
bx
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
bcx\\
bdx
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x+bcx\\
bx+bdx
\end{pmatrix}
$\\
$bc=-1$より$x+bcx=x-x=0$\\
$d=-1$より$bx+bdx=bx-bx=0$\\
よって$\tvec{OA}+\tvec{OB}+\tvec{OC}=\dvec{0}$\\
2.\\
$|\tvec{OA}|=|x|$\\
$|\tvec{OB}|=|y|=|bx|$\\
よって$|x|=|bx|$となり$b=\pm 1$\\
したがって$c=\mp 1$\\
よって$T=
\begin{pmatrix}
0&\mp 1\\
\pm 1&-1
\end{pmatrix}
$\\
$P=(x,y)$とすると\\
$f(\tvec{OP})=(\mp y,\pm x -y)$\\
$\tvec{OP}$と$f(\tvec{OP})$が直交するということは\\
$\tvec{OP}$と$f(\tvec{OP})$の内積が０\\
内積は\\
$\mp xy+ \pm xy -y^2$なので
$y^2=0$\\
つまり$y=0$なのでPは$x$軸上にある。\\

証明終了
\end{document}
